Volumenintegral?
Hallo, ich habe mal ne Frage zu folgendem Aufgabentyp:
Warum verläuft das Prisma auf der x-Achse nicht auch von 0->1 sondern von 0->(1-y)? Habe ich irgendetwas verpasst?
Gruß
3 Antworten
Irgendwie komme ich auf ein anderes Volumen, wenn ich die Aufgabe ohne Integration löse.
Wenn ich ein gleiches Prisma nehme und es Hypotenusen an Hypotenusen an das gezeichnete Prisma schiebe, erhalte ich einen Quader mit den Abmessungen 1 x 1 x 3. Der hat dann das Volumen 3. Dann sollte doch das gegebene Prisma ein Volumen von V = 3/2 haben und nicht 3/8. Dasselbe Ergebnis erhalte ich natürlich auch mit der elementaren Formel für das Prismenvolumen: V = A_g * h.
Demnach ist die Integralrechnung falsch. Kann mir das jemand erklären?
Du hast das normale Volumen berechnet (btw sind hier keine Längeneinheiten gegeben weshalb das so auch keinen Sinn macht :D). Hier ist aber das Volumenintegral gefragt, nicht das Volumen
Schaue dir mal mit die x,y - Ebene an. Dort siehst du ein Dreieck. Wenn du dieses gegebene Dreieck in der x,y- Ebene betrachtest, dann siehst du eine eigentlich eine lineare Funktion y=-x+1 (die Hypertenuse des Dreiecks). Dies kannst du umformen zu x=1-y.
Daus folgt, dass x von 0 bis x=1-y läuft
Achso, danke. Ich hätte stattdessen auch einfach y von 0 bis (1-x) laufen lassen können oder?
Was du bei diesem Volumenintegral machst ist folgendes:
Du berechnest erst die Grundfläche in der xy-Ebene und anschließend multiplizierst du die Fläche mit der Höhe.
Würde x von 0-1 laufen, wäre die Grundfläche ein Quadrat.
Es liegt aber ein Dreieck vor.
Wenn du dir nur die xy-Ebene mit dem Dreieck aufzeichnest, wirst du sehen, dass dort eigentlich eine lineare Funktion zu finden ist.
Diese fängt bei y=1 and fällt mit der Steigung 1 ab, sodass sich folgende Formel für y in Abhängigkeit von x ergibt:
y(x) = 1-x,
stellst du es nach x um bekommst du
x = 1-y.
Die Aufgabe verlangt aber nicht nach dem Volumen des Prismas.