Vektorgeometrie?
Gegeben sei eine Kugel (x-3)^2+y^2+(z+5)^2=49
(Die Gerade g=({p+3}, {1}, {-5})+t*({0, {-1}, {0}) berührt die Kugel in einem Punkt. Bestimme den Parameter p.
Bis jetzt habe ich nur folgendes und weiss nicht weiter:
p^2+(t+6)(t-8)=0
2 Antworten
(x-3)² + y² + (z+5)² = 49
Die Gerade g in die Kugelgleichung einsetzen, d.h.
x = p+3, y = 1-t, z = -5
((p+3)-3)² + (1-t)² + ((-5)+5)² = 49
Umformen:
t² - 2t + (p² - 48) = 0
Das ist eine quadratische Gleichung für t und wir tun erstmal so, als wäre (p² - 48) eine Konstante. Lösen mit der pq-Formel:
t1 = 1 - sqrt(49-p²), t2 = 1 + sqrt(49-p²)
Setzt man t1 und t2 in die Geradengleichung ein, erhält man zwei Schnittpunkte mit der Kugel, d.h. die Gerade läuft durch die Kugel durch. Die Gerade berührt die Kugel genau dann, wenn t1=t2 gilt, denn dann gibt es nur noch einen Berührpunkt. Daraus folgt
1 - sqrt(49-p²) = 1 + sqrt(49-p²)
- sqrt(49-p²) = + sqrt(49-p²)
Das kann nur erfüllt werden, wenn unter der Wurzel eine 0 steht.
Lösung p = +7 und p=-7
Bestimme, für welche Parameter p die Gerade g den Abstand 7 vom Mittelpunkt M(3, 0, -5) der Kugel K hat…