Vektorenrechnung - Aufgabe Kugel rollt Ebene hinunter
Diese Aufgabe versteh ich nicht ganz genau, vielleicht kann mir ja jemand da helfen. Aufgabe: Eine Kugel mit dem Radius r=5 rollt vom Punkt P(5/-10/10) auf der Ebene E: 3x2+4x3=10 parallel zur x2 Achse in Richtung der x1x2 - Ebene.
Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g, auf der die Kugel die Ebene E hinunterrollt.
Bestimmen Sie den Punkt B, in dem die Kugel auf der x1x2 Ebene auftritt
2 Antworten
Überleg dir erstmal, wie die Ebene aussieht: Das ist soch eine Ebene, die in x1-Richtung immer denselben WErt annimmt (Wenn man x2 und x3 so festgelegt hat, dass man auf der Ebene ist, kann man für x1 jeden beliebiegen Wert verwenden). Das heißt: Diese Ebene entsteht sozudagen aus der x1x2-Ebene, die man dann mit der x1-Achse als Drehachse dreht und dan halt noch parallel verschiebt(Das entspricht auch der x1x3-Ebene, die ebenfalls an der x1-Achse gedreht wird). Falls dir das schwer verständlich ist, skizziere die mal die Ebne. "Parallel zur x2-Achse" heißt deshalb in diesem Zusammenhang nicht, dass die Kugel genau in x2-Richtung läuft, sondern dass keine x1-Komponente im Richtungsvektor der Kugel auftritt.
Weiterhin muss ja der Richtungsvektor parallel zur Ebne sein (der Ball "hebt" schließlich nicht ab), damit muss der aber senkrecht zum Normalenvektor der Ebene sein (der ja [0;3;4] beträgt). Also ergibt sich für den Richtungsvektor der Ebene v=[v1;v2;v3] mit dem Skalarprodukt:
3·v2+4·v3=0
Wegen der Überlegung vorher ist außerdem auch schon v1=0 bekannt. Man hat damit jetzt ncoh die beiden UInbekannten v2 und v3 und eine Gleichung --> eine dieser beiden darf man frei wählen (nicht Null), damit ergibt sich die andere Komonente. Dann sollte es kein Problem mehr sein, damit die Geradengelcihung ausfzustellen.
Um den Punkt herauszufinden, an dem die Kugel auf der x1x2-Achse suftrifft, kann man natürlich "ganz klassisch" die x1x2-Ebene aufstellen (die lautet: x3=0) und schneiden. Einfacher geht es in diesem Spezialfall jedoch, wenn man die Bedingung, dass auf der x1x2-Ebene die x3-Komponente der Kugel 0 sein muss verwendet und einsetzt. Dann kann man damit den Geradenparameter bestimmen(also das t oder d oder was auch immer) und erhält so noch den x2 und den x1-Wert de Punktes.
Wäre der Punkt in der x1x2-Ebene B(5,10,0) ?