Ursprungstangente berechnen!

Hallöchen. Ich komme bei einer Matheaufgabe leider nicht weiter. Und hier ist die Aufgabe:

Welche Ursprungstangente z ist die Tangente an den Graphen von f(x)=(1/x)-1 ; x>0 ?? t(x)=mx

Ich weiß jetzt schon soviel, dass ich (1)t(x) = f(x) und (2)t'(x) = f'(x) gleichsetzen muss und (2) dann in (1) einsetzen muss.

(1) mx = x^-1 - 1 (2) m = -x^-2

So und jetzt habe ich i.wie ein Problem. Wenn ich das errechnete m in (2) bei (1) einsetze, dann kommen total komische Werte raus und ich komme letzendlich nie wirklich auf ein x , was ja hier Ziel ist.

Kann mir jemande Helfen? Habe ich schon Fehler in den ersten Schritten?

Vielen, vielen Dank im Vorraus. Lg.

Answer 1

[JotEs]

t ( x ) = f ( x )

Einsetzen:

m x = ( 1 / x ) - 1

[Division durch x (zulässig und problemlos, da x > 0 sein soll):]

<=> m = ( 1 / x ² ) - 1 / x = ( 1 - x ) / x ²

Das ist nun die Steigung einer Ursprungsgeraden t ( x ), die den Graphen von f ( x ) im Punkte ( x | f ( x ) ) schneidet.

Nun ist aber eine Stelle x zu bestimmen, an der t ( x ) dieselbe Steigung hat, wie f ( x ), also:

m = f ' ( x )

eingesetzt:

( 1 - x ) / x ² = - 1 / x ²

<=> 1 - x = - 1

<=> x = 2

An der Stelle x = 2 tangiert also t ( x ) den Graphen von f ( x ). Die Steigung m von t ( x ) ist dort:

m = ( 1 - x ) / x ² = - 1 / 4

Also lautet die Gleichung von t ( x ) :

t ( x ) = ( - 1 / 4 ) x

Probe:

t ( 2 ) = ( - 1 / 4 ) x = - 1 / 2

f ( 2 ) = ( 1 / x ) - 1 = - 1 / 2

Also: Die Funktionswerte von t ( x ) und f ( x ) stimmen an der Stelle x = 2 überein, der Punkt ( 2 | - 1 / 2 ) gehört also zu beiden Funktionen.

Außerdem:

t ' ( 2 ) = - 1 / 4

f ' ( 2 ) = - 1 / 2 ² = - 1 / 4

Auch die Steigungen von t ( x ) und f ( x ) stimmen an der Stelle x = 2 überein. Also berühren sich die beiden Funktionen an der Stelle x = 2 gerade (und schneiden sich nicht). Damit aber ist der Graph der Ursprungsgeraden t ( x ) Tangente an den Graphen von f ( x ) und somit Urprungstangente.