Uneigentliche Integral dieser Funktion?

Hi,

könnte mir vielleicht jemand erklären, wie man hier von die Stammfunktion bildet? Ich habe gerade keine Formelsammlung da und habe das Ganze ohne Integraltafeln versucht, bin aber kläglich gescheitert.

Danke im Voraus!

Answer 1

[Willibergi]

Nach einer quadratischen Ergänzung kann man substituieren:

$\displaystyle\int_0^\infty \frac{1}{(x-1)^2+6} \,\mathrm dx = \int_{-1}^\infty \frac{1}{u^2+6}\, \mathrm du$

Zieht man jetzt noch 1/6 raus und substituiert nochmal geeignet, steht die Ableitung vom Arkustangens da.

Answer 2

[mihisu]

Führe im Nenner eine quadratische Ergänzung durch. Dann kann man mit einer geeigneten Substitution weitermachen, um

$\int\frac{1}{x^2+1}\text{d}x=\arctan\left(x\right)+C$

bzw. etwas allgemeiner

$\int\frac{1}{x^2+a^2}\text{d}x=\frac{1}{a}\cdot\arctan\left(\frac{x}{a}\right)+C\ \text{ }\ \text{ für }a\ne0$

bzw.

$\int\frac{1}{x^2+a}\text{d}x=\frac{1}{\sqrt{a}}\cdot\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{a}}\right)+C\ \text{ }\ \text{ für }a>0$

nutzen zu können.

============

bzw.

Answer 3

[Simon221585]

Schreib den Nenner in ein Binom + eine weitere Zahl um

Dann substituieren, u = (x - 1)/Wurzel6

Am Ende kriegst du ein bekanntes Integral du

=)