Frage von 4everrusherr, 42

Integral und Stammfunktion?

Icj bin gerade dabei für meine Matheklausur zu lernen, und bin dabei auf folgende Aufgabe gestoßen:

Manuel behauptet: "(Integral a bis x) f(t)dt kann keine Stammfunktion von f sein weil der Ausdruck zwei Variablen enthält." Dabei sind a,x und t reelle Zahlen, x und t sind variabel, a fest. Nehmen Sie Stellung zu Manuels Behauptung.

So ich verstehe nun weder Manuels Behauptung, noch wie ich bei der Aufgabe vorgehen muss. Die gegebene Funktion ist doch gar keine Stammfunktion sondern eine Integralfunktion??

Ich finde Integralrechnung eigentlich recht einfach, aber wenn dann solche Textaufgaben kommen, bin ich raus...

Ich würde mich über Hilfe sehr freuen!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von ralphdieter, 32

Vorab: Der subtile Unterschied zwischen Stammfunktion und Integralfunktion ist hier völlig irrelevant.
                                       x
Manuel meint: "F(x,t) = ∫ₐ  f(t) dt kann gar nicht passen, weil sie ja von zwei Variablen abhängt, f aber nur von einer."

Sein Fehler: t ist hier keine (freie) Variable. Man kann t weder berechnen noch einen Wert dafür einsetzen. t ist nur formal innerhalb des Integral-Ausdrucks von Bedeutung.

Vergleiche das mit einer Summe: Σₙ₌₁ ⁵ n² ist einfach nur eine Zahl (55) und keine Funktion über n.

Antwort
von Mikkey, 37

Im Allgemeinen ist eine Integralfunktion auch Stammfunktion (mit einigen Voraussetzungen an die Funktion).

Die Verwendung der Funktionsvariablen x muss von der Integralvariablen t unterschieden werden. t ist ausschließlich als Platzhalter für die Einsetzung in die Funktion beim Integrieren da.

Expertenantwort
von DieChemikerin, Community-Experte für Mathematik & Schule, 28

Hi,

ich versuche mal, dir zu helfen. Habe erst selbst am Dienstag meine Leistungskurs-Klausur darüber geschrieben.

Manuel behauptet, dass der Ausdruck "Integral von a bis x (f(t))dt" keine Stammfunktion sein kann, da wir hier die Variablen a und x haben.

Dazu lässt sich sagen: Manuel hat recht. Die Menge aller Stammfunktionen wird durch das unbestimmte Integral angegeben, d.h. durch ein Integral ohne Grenzen. Hier hast du aber zwei Grenzen (dabei ist es egal, ob variabel oder nicht) vorgegeben, wodurch du ein bestimmtes Integral hast. Zwar musst du selbstverständlich eine Stammfunktion bilden, um dieses Integral zu berechnen, allerdings hast du durch das Einsetzen der Grenzen (dies musst du ja bei der Berechnung des Unbestimmten Integrals tun) und der Differenzbildung eine Fläche unter der urspründlichen Funktion berechnet. Beim bestimmten Integral nimmst du dir zwar die Stammfunktion zur Hilfe, dennoch ist dieses Integral nicht die Stammfunktion selbst, da du definierte Grenzen hast.

Ich hoffe, ich konnte dir etwas helfen.

LG

Kommentar von Mikkey ,

Du hast offenbar

x und t sind variabel

übersehen?

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