Übertragungsfunktion Laplace-Transformation DGL?
wie kann ich die Konstante und 2s eliminieren?
2 Antworten
Zunächst ein paar Infos zur Laplace-Transformation an sich:
Betrachte die Laplace-Transformation der "zeitabhängigen" Funktion f(t)
L{ f(t) } = F(s)
F(s) wird hierbei als Laplace-Transformierte von f(t) bezeichnet mit Laplace-Variable s. Die Laplace-Variable ist eine komplexe Zahl:
s = a + i*w
mit Realteil a und Imaginärteil w. Bei der Laplace-Transformation handelt es sich um eine Erweiterung der Fourier-Transformation. Sie ist in der Lage eine größere Menge an Funktionen zu Transformieren. Es gilt der Zusammenhang:
F{ e^(-at)*f(t) } = L{ f(t) }
wobei F{.} die Fourier-Transformation beschreibt. Sofern die Fourietransformierte von f(t) existiert, gilt:
F(s = jw) = F(jw)
die Laplace-Transformierte entspricht dann der Fouriertransformierten.
Die Laplace-Transformierte einer Ableitung folgt zu:
L{ dy(t)/dt } = s*L{y(t)} - y(0) = = s*Y(s) - y(0)
Iteratives Anwenden liefert dann relativ schnell für die n-te Ableitung
L{ y^(n)(t) } = s^n * Y(s) - s^(n-1)*y(0) - ... - y^(n-1)(0)
Die Laplacetransformation ist besonders nützlich zum lösen von gewöhnlichen Differentialgleichung, da diese durch die Transformation in einfache algebraische Gleichungen transformiert werden. So folgt bspw.:
y´(t) + a*y(t) = 0 mit y(0) = b
--> (s + a)*Y(s) - b = 0 --> Y(s) = b/(s + a)
Da die Laplacetransformation eindeutig ist, kann man für die Rücktransformation einfach in entsprechenden Tabellen nachschlagen. Hier folgt:
y(t) = b*e^(-at)
als Rücktransformierte von Y(s). Sie eignet sich ebenso zur Beschreibung des Eingangs-/Ausgangsverhaltens von linearen zeitinvarianten Systemen (LTI-Systemen). Sie liefert einen algebraischen Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangsgröße des Systems. Es gilt:
Y(s) = G(s)*U(s)
mit Y(s) der Laplace-Transformierten des Ausganges, U(s) der Laplace-Transformierten des Einganges und G(s) der sogenannten Übertragungsfunktion des Systems. Obige Gleichung gibt dabei lediglich das Ein-/Ausgangsverhalten nur exakt wieder, wenn die Anfangsbedingungen y(0), y^(1)(0) , ... alle gleich 0 sind. Im Zeitbereich kann das Verhalten solcher Systeme mittels gewöhnlicher DGLs beschrieben werden. Sie nehmen die Form:
y^(n)(t) + a(n-1)*y^(n-1)(t) + ... a(0)*y(t) = b(0)*u(t) + ... + b(m) * u^(m)(t)
an. Nehmen wir an, dass alle Anfangsbedingungen verschwinden, so folgt durch Laplace-Transformation:
(s^n + ... + a(0))*Y(s) = (b0 + ... + b(m)*s^m)*U(s)
Dies kann dann auf obige Form gebracht werden mit
Y(s) = (b0 + ... + b(m)*s^m)*U(s)/(s^n + ... + a(0))
mit G(s) = (b0 + ... + b(m)*s^m)/(s^n + ... + a(0)) , der Übertragungsfunktion des Systems.
Nun die explizite Lösung deiner Aufgabe:
w´´ + 2w´ + 3w = z
--> (s² + 2s + 3)*W(s) - (s*w(0) + w´(0) + 2*w(0)) = Z(s)
--> W(s)/Z(s) = 1/(s² + 2s + 3) + (s*w(0) + w´(0) + 2*w(0))/(s² + 2s + 3)
mit w(0) = 2 und w´(0) = 4 folgt dann:
--> W(s)/Z(s) = 1/(s² + 2s + 3) + (2s + 8)/(s² + 2s + 3)
--> W(s)/Z(s) = (2s + 9)/(s² + 2s + 3)
Die gesuchte Lösung lautet also:
W(s)/Z(s) = (2s + 9)/(s² + 2s + 3)
Oh oh, da hat sich tatsächlich ein Fehler bei mir eingeschliechen ... . Dein Einwand ist vollkommen korrekt!
Wir sind also an der Stelle:
(s² + 2s + 3)*W(s) - (s*w(0) + w´(0) + 2*w(0)) = Z(s)
Für verschwindene Anfangsbedingungen folgt:
(s² + 2s + 3)*W(s) = Z(s)
Und durch Umformung:
G(s) = W(s)/Z(s) = 1/(s² + 2s + 3)
Ich hatte es zwar oben schon mal erwähnt, aber zur Bestimmung von Übertragungsfunktionen geht man derart vor, dass alle Anfangsbedingungen zu 0 gesetzt werden. Dann lässt sich obige Übertragungsfunktion G(s) ermitteln. Die tatsächliche Lösung der DGL lässt sich dann im Frequenz-/Bild-bereich wie folgt angeben:
W(s) = G(s) * Z(s) + (s*w(0) + w´(0) + 2*w(0))/(s² + 2s + 3)
wobei G(s) die oben ermittelte Übertragungsfunktion ist ... . W(s) spielt hierbei die Rolle des Ausgangs und Z(s) die Rolle des Eingangs.
Sry nochmall für die Verwirrung.
s ist eine Variable - du kannst also nach Potenzen von s aufteilen.
Ich bin jetzt so weit: W(s)*(s^2+2s+3)=Z(s)+2s+8, dann geht es nicht mehr weiter....