Konstante Lösung einer DGL?

Was bedeuten konstante Lösungen ?

Answer 1

[mihisu]

Eine konstante Lösung einer Differentialgleichung ist eine Lösung der Differentialgleichung, welche zugleich eine konstante Funktion ist.

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Beispiel:

Betrachte die folgende Differentialgleichung:

$x'=x^3-27$

Die durch x(t) = 3 für alle t ∈ ℝ gegebene Funktion x ist einerseits eine konstante Funktion. (D.h. die Funktion nimmt an jeder Stelle t den gleichen Funktionswert an.) Andererseits ist wegen...

$x(t) = 3,\quad x'(t)=0$ $\underbrace{\overbrace{0}^{x'(t)}=\underbrace{\overbrace{3^3-27}^{\left(x(t)\right)^3-27}}_{=0}}_{\text{wahr}}$

... diese Funktion auch eine Lösung der Differentialgleichung. Damit ist diese Funktion also eine konstante Lösung der Differentialgleichung.

Also: 3 ist eine konstante Lösung der Differentialgleichung x′ = x³ − 27.

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Hinweis: Bei konstanten Funktionen sind alle Ableitungen konstant 0. D.h. für konstante Lösungen einer DGL ist x′ = x′′ = x′′′ = ... = 0 (wenn man die gesuchten Funktionen mit x bezeichnet).

Bei x′ = x³ - 27 muss also wegen x′ = 0 jede konstante Lösung die Gleichung 0 = x³ - 27 erfüllen. Aufgelöst nach x erhält man dann x = 3 als einzige (zumindest die einzige reellwertige) konstante Lösung.

Comments

[PharukiDesu]

wieso hast du x'(t) = 0 gesetzt ?

[mihisu]

@PharukiDesu

Konstante Funktionen haben Ableitung 0. (Die verlaufen flach mit Steigung/Änderungsrate 0.)

[PharukiDesu]

@mihisu

oh thxxxx