Überprüpfen sie ob die Punkte A;B;C;D;E;F;G;H einen pyramidenstumpf bilden?
Beim Vorbereiten für einen Test ist mir diese Aufgabe aufgefallen. Spontan würde mir nur einfallen die einzelnen Vektoren auf Orthogonalität zu überprüfen. Reicht das, denn schon für den Beweis oder müsste ich noch etwas anderes liefern?
4 Antworten
1) ABCD muss ein Quadrat sein, also |AB| = |BC|
und Vektor AB = v͐(AB) ⊥ v͐(BC) und v͐(AB) = v͐(DC) und v͐(BC) = v͐(AD)
2) entspr. EFGH.
3) |AB| ≠ |EF|
4) v͐(AB) ‖ v͐(EF) und v͐(BC) ‖ v͐(FG)
5) Sei M₁ Mittelpunkt (Mp) von AC (und damit Mp von ABCD),
also m͐₁ = ½ (a͐ + c͐) und M₂ Mp von EG, dann muss m͐₂ ‒ m͐₁ ‖ n͐(ABC) sein.
Sehr kompakt vielen Dank. Jetzt kann ich die Aufgabe zu 100% lösen. Aber noch eine Frage ist das Viereck ABCD unbedingt ein Quadrat? Es könnte doch auch theoretisch ein Rechteck, Parallelogram .. sein.
Hallo,
Du könntest auch die Beträge der Vektoren überprüfen. Die vom unteren Quadrat müßten gleiche Beträge haben, die vom oberen Quadrat und die vier Kantenvektoren. Ist die Grundfläche rechteckig und nicht quadratisch, sind zumindest gegenüberliegende Vektoren gleich lang. Außerdem müßten gleichliegende Vektoren der oberen und der unteren Deckfläche parallel und somit linear abhängig sein, jedenfalls in bezug auf die Ebene, in der sich diese Flächen befinden.
Herzliche Grüße,
Willy
Aber sind Grund- und Deckfläche nicht immer parallel? Da die Mantelfläche doch immer ein trapez ist.
Ich glaube jetzt verstehe ich was du meinst. Wenn alle Seiten der Grundfläche gleich sind und alle Seiten der Deckfläche, dann müsste ich nur einmal auf Lineare Abhängigkeit überprüfen, beim Quadrat und beim Rechteck, dann natürlich zweimal. Meintest du das?
Ja. Wenn die Grundfläche ein Quadrat ist, dann ist die andere Grundfläche natürlich auch eins. Du könntest auch nach dem Strahlensatz die Längen gleichliegender Vektoren bei den beiden Grundflächen überprüfen, ob sie jeweils im gleichen Verhältnis stehen. Auch das wäre ein Hinweis. Am besten zeichnest Du Dir das Ganze auf und überlegst, wie die Vektoren jeweils zusammenhängen, dann kannst Du ganz gezielte Berechnungen anstellen.
Viel Erfolg,
Willy
...steht da rechnersich überprüfen? Wenn nicht würe eine zeichnung auf milimeterpapier doch sinnvoller..
Zeichnung würde im Test aber evtl länger dauen. Als übung würde ich gerne mal den rechnerischen weg benutzen.
du kannst das mit der orthogonalität machen, klar... aber dann müsstest du das 8 mal berechnen..
Meistens ist ja der Stumpf einer quadratischen Pyramide gemeint. Bei einem anderen Viereck als Grundfläche kannst Du einzelne Bedingungen weglassen.
Bei einem 3- , 5- , 6- . . . Eck wird es schwieriger.
Kurze Frage, aber ist die Grundfläche bzw. die Deckfläche nicht egal? Da der Pyramidenstumpf doch verschiedene Grundflächen haben kann. Deshalb erschließt es sich mir nicht die Berträge des Vierecks zu bilden.