Bedingung für Parallelogramm (Vektoren)
Hi, ich schreibe nächsten Mittwoch schriftliches Abitur (Hessen) in meinem Leistungskurs Mathematik und da ist folgende Frage beim Lernen aufgetaucht:
Wenn ich 4 Punkte A, B, C und D gegeben habe und überprüfen soll, ob die sich daraus ergebende Fläche ein Parallelogramm ist, genügt es dann, wenn ich überprüfe, ob 2 gegenüberliegende Seiten gleich sind (sprich gleiche Länge, Richtung und Orientierung) oder muss ich zusätzlich noch die anderen beiden Seiten überprüfen?
Meines Erachtens nach müsste es genügen wenn man 2 Seiten überprüft, meine Mathe-Lehrerin hatte aber mal gemeint, alle 4 sind not wenig.
Vielen Dank schon mal im voraus für alle Antworten!
Für diejenigen, die aus meiner Erklärung oben nicht schlau wurden, führe ich hier mal eine (einfache) Beispielrechnung an:
Es seien folgende Punkte gegeben: A(0|0|0), B(1|1|0), C(1|3|1) und D(0|2|1).
Also ich würde nun einfach überprüfen ob AB und DC übereinstimmen:
AB = ( 1-0 | 1-0 | 0-0 ) = (1|1|0); DC = ( 1-0 | 3-2 | 1-1 ) = (1|1|0) => AB = DC
Genügt nun der Beweis, dass AB und DC gleich sind, oder muss ich zusätzlich noch zeigen, dass BC = DA gilt?
4 Antworten
Man hat ein Viereck ABCD und kann zeigen, dass zwei gegenüberliegende Seiten "gleich" sind, ohne Einschränkung kann man annehmen, dass AB = DC ist.
Ich bezeichne mit a den Vektor AB. Es gilt also:
B = A + a und C = D + a.
Wir wollen, dass BC = AD gilt. Es gilt aber:
BC = (A + a)C = (A + a)(D + a)... Man sollte an dieser Stelle nicht vergessen, dass hier ein Vektor zwischen 2 Punkten gemeint ist und kein Produkt, also sollte man es nicht mit dem Distributivgesetz versuchen ;)
Es folgt: BC = (A + a)(D + a) = D + a - (A + a) = D - A = AD. Also sind die anderen beiden Seiten automatisch parallel.
Bei einem "im Raum liegenden" Parallelogramm sind die Enden von zwei gegenüberliegenden Seiten auch die Ausgangspunkte der anderen Geraden. Also würde durch den Nachweis, dass 2 gegenüber liegende Seiten gleich lang und zueinander parallel in einer Ebene verlaufen, ausreichen.
Stelle das doch einmal mit beiden parallelen Seiten gegenüber!
Ich denke, dass der Gedanke Melvissimos ein gültiger Beweis ist, finde aber seine Schreibweise recht verwirrend. Sie lässt sich vermeiden, indem Differenzen der Ortsvektoren betrachtet werden:
Voraussetzung:
B - A = C -D
Behauptung:
C -B = D -A
Beweis:
C -B =
C -B +A -A =
C -(B-A) - A = | mit der Voraussetzung:
C-(C-D) -A =
D -A, q.e.d.
DIese "Kompaktform" würde ich, natürlich schön brav in Kleinbuchstaben mit Vektopfeilchen verstehen, im Zweifel auch in die Abi-Arbeit schreiben, statt überflüssigerweise mit vielen Koordinaten herumzuhantieren... was am Ende nur Rechenfehler bringt.
Ich glaube es müsste reichen wenn zwei gegenüberliegende parallel und gleich lang sind =/ .