Trigonometrie- Winkel in einem Quaderr?
Hallo,
versteht jemand die Aufgabe und könnte sie mir erklären, also wie man vorgeht?
Schonmal danke für eure Zeit und Hilfe!!
Ich habe jetzt schon angefangen, aber komme momentan nicht weiter!!
2 Antworten
Winkel berechnet man meistens am einfachsten über Sinussatz oder Cosinussatz.
Dazu braucht man natürlich Dreiecke. D. h. du musst den Winkel und zwei Strecken, die an ihn angrenzen, zu einem Dreieck ergänzen. Beim Winkel alpha wäre das z. B. der Punkt oben hinten links, die obere hintere Seite a und die Raumdiagonale d; die dritte Dreiecksseite ist dann die Flächendiagonale von oben hinten rechts nach unten vorn rechts. (Statt der ganzen Raumdiagonalen d kann man auch bis zum Mittelpunkt des Quaders gehen, das dürfte aber etwas komplizierter werden.)
Da wir in jedem Dreieck nur einen Winkel haben, aber alle Seitenlängen kennen oder berechnen können, bietet sich der Cosinussatz an.
Wenn ihr Vektorrechnung kennt, könnt ihr die Strecken auch als Vektoren darstellen und die Winkel zwischen den Vektoren berechnen. Das ist äquivalent (gleichbedeutend) zum Cosinussatz, man muss aber die dritte Seite nicht explizit (ausdrücklich) berechnen.
Siehe Suchergebnisse von
https://www.google.com/search?q=quader+länge+der+raumdiagonalen
oder du suchst ein rechtwinkliges Dreieck, das d als Seite enthält - das geht nur mit d als Hypotenuse, die Katheten sind eine Flächendiagonale und eine Quaderkante. Die Länge der Flächendiagonale lässt sich ebenfalls per Pythagoras berechnen - hier sind die Katheten die beiden anderen Quaderkanten.
Boden des Quaders:
A=(0,0,0) / B=(5,0,0) / C=(5,4,0) / D=(0,4,0)
Deckel des Quaders:
A'=(0,0,3) / B'=(5,0,3) / C'=(5,4,3) / D'=(0,4,3)
Die Diagonale durch B und D' hat den Richtungsvektor D'-B = (-5,4,3)
Die Diagonale durch A und C' hat den Richtungsvektor C'-A = (5,4,3)
Die Kante durch A' und D' hat den Richtungsvektor D'-A' = (0,4,0) = (0,1,0)
Die Kante durch C' und D' hat den Richtungsvektor D'-C' = (-5,0,0) = (1,0,0)
Die Kante durch D' und D hat den Richtungsvektor D-D' = (0,0,3) = (0,0,1)
Mit diesen Angaben lassen sich die Winkel zwischen zwei Vektoren v und u berechnen:
cos(alpha) = v*u/(|v|*|u|)
alpha = 45°
beta ~ 55.55°
gamma ~ 64.9°
delta = 90°
aber woher weiß ich, wie lange d ist?