Teileranzahlfunktion?
Gegeben seien die natürlichen Zahlen m, n ∈ IN mit τ (m^2 ) = 26, τ (n^2 ) = 27. Berechnen Sie alle möglichen Werte von τ (m), τ (n), τ (m^3 ) und τ (n^3 ).
Als Tipp wurde und gegeben das die kanonische Primfaktorverlegung wie folgt lautet: m^2 = p_1^2m_1 * p_2^2m_2...
2 Antworten
Ich versteh die Aufgabe nicht ganz, obwohl ich weiß was tau ist (teilerfunktion). Daher nur etwas, was man unmittelbar sieht und vielleicht hilft. N muss quadratzahl sein, da es eine ungerade teileranzahl ist.
Wenn m^2 26 Teiler hätte, müsste seine Primfaktorzerlegung p1^1 * p2^12 sein, dann kann es aber keine Quadratzahl sein.
Für n gibt es folgende Möglichkeiten:
n^2 = p1^26 oder n^2 = p1^2 * p2^8 oder n^2 = p1^2 * p2^2 * p3^2
tau(m^2) kann keine gerade Zahl sein.
n ist keine Quadratzahl, sondern entweder p^13 oder p1 * p2^4 oder p1 * p2 * p3
Von gerade hab ich nicht geredet nur von keine quadratzahl. Doch n ist quadratzahl. Alle zahlen mit ungerade teilerzahl sind quadratzahl en, da jeder teiler einen Gegenteile hat, außer der von der wurzel, der hat sich selbst. Beispiel 36 hat die teiler 1*36, 36*1,2*18,18*2, 3*12, 12*3,4*9,9*4 und 6*6 (!!!), also 9 teiler
Wir schreiben aneinander vorbei.
- Ein m mit der Eigenschaft "tau(m²) ist gerade" gibt es nicht.
- n ist keine Quadratzahl, aber n². Gegeben ist tau(n²) = 27.
- Daraus folgt n = p^13 oder n=p1 * p2^4 oder n = p1 * p2 * p3
- Alle drei Möglichkeiten haben mindestens einen ungeraden Primexponenten, könnne also keine Quadratzahl sein
OK, verstehe. Mein Fehler nur n zu sehen statt das quadrat
Als Hinweis für den Fragesteller:
https://de.wikipedia.org/wiki/Teileranzahlfunktion#Eigenschaften
Die Anzahl der Teiler einer Zahl ermittelt man aus den Exponenten der kanonischen Primfaktorzerlegung als (e1 + 1) * (e2 + 1) * ...
Z.B. ist 27 = 3^3 das kann man nur auf folgende Weisen in Faktoren (e1 + 1) , (e2 + 1) ... zerlegen
27 = 27 -> e1 = 26
27 = 3 * 9 -> e1 = 2, e2 = 8
27 = 3 * 3 * 3 -> e1 = e2 = e3 = 2
Das sind die Exponenten von n², die von n sind halb so groß.
M ist ja auch keine quadratzahl, nur n ist eine