tan()!= arctan() wieso?
tan(4.4377) = 3.54845...
arctan(3.54845...) = 1.29610
Kann mir jemand erklären wieso das so ist.
Und wie komme ich nun auf die 4.4377??
5 Antworten
Das liegt daran, dass die tan-Funktion insgesamt nicht umkehrbar ist, da sie nicht injektiv ist. Man kann nur einzelne Zweige der tan-Funktion umkehren.
Wenn man die Einschränkung der tan-Funktion auf [-π/2, π/2] betrachtet, so ist diese eingeschränkte tan-Funktion umkehrbar und die entsprechende Umkehrfunktion wird als arctan-Funktion bezeichnet.
Nun liegt 4,4377 nicht im Intervall [-π/2, π/2], weshalb die arctan-Funktion auch nicht 4,4377 als Funktionswert liefern kann. Stattdessen liefert die arctan-Funktion den Wert 1,2961... im Intervall [-π/2, π/2], welcher (wie 4,4377) ebenfalls den Funktionswert 3,5484... liefert.
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Betrachte die folgende Skizze.
Die arctan-Funktion ist nicht die Umkehrfunktion der gesamten tan-Funktion (da es solch eine Umkehrfunktion nicht gibt). Stattdessen ist die arctan-Funktion nur die Umkehrung des auf das Intervall [-π/2, π/2] eingeschränkten Zweiges der tan-Funktion. Den entsprechenden Bereich habe ich in der Skizze grünlich markiert.
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Wenn man nun eine Gleichung der Form tan(a) = b nach a lösen möchte, so sind die Lösungen...
... mit ganzen Zahlen k. Der Teil „+ k ⋅ π“ kommt dabei dadurch zustande, dass die tan-Funktion π-periodisch ist.
Im konkreten Fall sind die Lösungen der Gleichung...
... durch...
... mit ganzen Zahlen k gegeben. Für k = 0 erhält man die Lösung...
Für k = 1 erhält man die Lösung...
sinus und cosinus sind negativ
Wie kommst du auf diese Vorzeichen?
Oder soll etwa sin(u) = -5 - 4√(2) und cos(u) = -5√(2) + 4√(2) sein? Da kann ich gleich sagen, dass das keinen Sinn ergibt, da -5 - 4√(2) und -5√(2) + 4√(2) nicht zwischen -1 und 1 liegen.
(Kann natürlich sein, dass du die Vorzeichen aufgrund einer anderen Stelle in der Aufgabe erhälst. Aber alleine aus dem Verhältnis sin(u)/cos(u) ist das nicht ersichtlich.)
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sinus und cosinus sind negativ das heisst 3. Quadrant -> zwischen π und 3π/2
somit 1.296 < π | tan = π Periodisch ----> 1.296 + π ?
Ja.
Wenn Sinus und Kosinus negativ sein sollen, also sin(u) < 0 und cos(u) < 0 sein soll, und wenn tan(u) = 3,548... sein soll, dann findet man einen entsprechenden Winkel u im 3. Quadranten, also einen Winkel u mit π < u < 3π/2, indem man...
u = arctan(3,548...) + π
... rechnet.
Denn arctan(3,548...) ist zunächst kleiner als π. Weitere Lösungen erhält man aufgrund der π-Periodizität der tan-Funktion, indem man ein Vielfaches von π addiert. Man kann also solange π addieren, bis man einen Wert größer π erhält. Im konkreten Fall muss man dafür einmal π addieren, um arctan(3,548...) + π ≈ 4,437... zu erhalten.
Unser Dozent hat uns so ein Betti Bossi Rezept gezeigt und da war
sin(ω·t + φ). = A·cos(u)·sin(ω·t ) + A·sin(u)·cos(ω·t ) =
sin(ω·t + φ). = ( -5-4√2 ) *sin(ω·t ) + ( -5√3 + 4√2 )*cos(ω·t )
( -5-4√2 ) = A·cos(u) _______und_________( -5√3 + 4√2 ) = A·sin(u)
( -5√3 + 4√2 )/( -5-4√2 ) = A·sin(u)/A·cos(u) = tan(u)
( -5√3 + 4√2 ) = -3.0033
( -5-4√2 ) = -10
Schau Dir den Verlauf der Tangensfunktion in den 4 Quadranten an.
tan(α) = tan(π + α)
tan(1,29610) = tan(1,29610 + π) = 3,54835...
Also ich hab einen sinus(negativ) und cos(negativ) somit sin()/cos() ergab bei mir den tan()
negativ + negativ = 3 quadrant -> + pi?
weil arctan wie der name schon sagt sich auf arc = Gradmaß bezieht also die 360° maximal bei winkeln
normaler tan wird jedoch im Radius-Maß ausgerechnet, es sei denn du stellst den Taschenrechner um --- und genau das musst du machen DEG am Taschenrechner bevor du tan drückst
DEG steht für Degree und das ist Gradmaß ... nicht GRAD einstellen wenn es das gibt, das ist was das in der Schule gar nicht genommen wird
Der Tangens ist nicht eineindeutig (genauer: nicht injektiv), daher muss man mit dem Arkustangens ein bisschen aufpassen. Schauen wir uns den Graphen des Tangens an, sehen wir dass es für jeden y-Wert mehrere x-Werte gibt - zum Beispiel gilt:
Aber trotzdem kann man schnell erkennen, dass die entsprechenden x-Werte, die zu gleichen Funktionswerten führen, immer um π auseinanderliegen, mit anderen Worten: Der Tangens ist π-periodisch. Eine Umkehrfunktion soll aber doch jedem y-Wert eindeutig einen x-Wert "zurückzuordnen" - das ist aber auf dem gesamten Definitionsbereich offensichtlich nicht möglich, denn es gibt für einen beliebigen y-Wert mehrere mögliche x-Werte.
Stattdessen schränken wir den Definitionsbereich ein, nämlich auf das Intervall (-π/2, π/2) (das ist nur der mittlere Ast, der durch den Ursprung geht). Hier sehen wir dann durchaus, dass jeder x-Wert in diesem Intervall eindeutig einem y-Wert zugeordnet wird, d.h. für einen beliebigen y-Wert gibt es genau einen x-Wert, der diesen y-Wert als Funktionswert hat (genauer: der Tangens ist auf dieser Einschränkung injektiv, also insgesamt bijektiv und damit umkehrbar). Und diese Umkehrfunktion nennen wir den Arkustangens - geplottet:
Was wir allerdings beachten müssen, ist, dass wir durch den Arkustangens hier ausschließlich Werte im Intervall (-π/2, π/2) bekommen. Aber das ist auch unvermeidlich, denn gebe ich dir irgendeinen y-Wert, kannst du nicht wissen, welchen x-Wert ich genau in den Tangens eingesetzt habe, dass ich auf diesen y-Wert gekommen bin. Du kannst aber alle möglichen x-Werte feststellen - das ist nämlich einmal der Wert zwischen -π/2 und π/2, den uns der Arkustangens gibt und dann alle x-Werte, die von diesem Wert um ein Vielfaches von π entfernt sind.
Ein Beispiel: Wir wissen, dass
ist. Dann gibt uns der Arkustangens
den Wert 1,2490 - und das können wir auch einfach überprüfen, denn
stimmt. Davon können wir uns auch in den Plots oben überzeugen. Es gibt aber offensichtlich noch mehr x-Werte, die zum y-Wert 3 führen. Nämlich zum Beispiel
- schau dir das einfach oben in der ersten Grafik nochmal an. Gleiches gilt für
denn alle diese Werte liegen um ein Vielfaches von π vom Hauptwert 1,2490 entfernt. Genauso macht man es übrigens bei der Definition des Arkussinus, Arkuskosinus und auch des komplexen Logarithmus (denn im Komplexen ist die e-Funktion 2πi-periodisch).
Addiere zu den 1,29610 mal pi dazu. Der Tangens ist periodisch, die Umkehrung also nicht eindeutig, der arctan liefert daher immer den Hauptwert.
Danke für die Graphik die war sehr hilfreich. Kurz nochmals ne Frage ob ichs verstanden habe. Bei meiner Aufgabe geht es um harmonische Schwingungen und dieser tan() war das ergebnis für die Phasenverschiebung auf welche ich gekommen bin mit
sin(u)/cos(u) = ( -5-4√2 ) / ( -5√3 + 4√2 ) = tan(u) = 3.548
sinus und cosinus sind negativ das heisst 3. Quadrant -> zwischen π und 3π/2
somit 1.296 < π | tan = π Periodisch ----> 1.296 + π ?