Stochastik: Sinn dieser Aufgabe?
32 Karten, 7 Karo Karten, 4 Könige, die restlichen sind irrelevant für die Aufgabe
Es wird nun eine Karte zufällig gezogen.
Sind die Ereignisse A: Karokarte und B: König abhängig oder unabhängig
P(A) = 7/32 P(B) = 4/32
Natürlich unabhängig, er zieht ja nur einmal!Ist ja äquivalent, klar ist es das.
Aber was für einen Sinn macht es hier bitte von einem Und-Ereignis zu sprechen, bzw. A geschnitten B...
Hier gibt es gar kein sinnvolles Und-Ereignis, weil nur einmal gezogen wird, wieso wird also hier mit dieser idiotischen Gleichung argumentiert, die hier vollkommen fehl am Platz ist?
Entschuldigt die Wortwahl.
Es wird ja nur einmal gezogen, es gibt kein ziehen davor, also kein Ereignis was beeinflussen könnte.
Bzw. die Gleichung macht Sinn wenn es um bedingte Wahrscheinlichkeiten geht, da sind die absoluten Wahrscheinlichkeiten ja etwas anderes als die bedingten, aber hier?
P(A geschnitten B) wird eben über P (A) * P(B) berechnet...
2 Antworten
Da liegt ein Missverständnis vor in deiner Auffassung. Um die Wahrscheinlichkeit für A & B zu bestimmen, musst du kein mehrstufiges Zufallsexperiment betrachten. Tatsächlich solltest du dir bei Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie immer das gesamte probabilistische Modell vor Augen führen, also den entsprechenden Maßraum.
Ein Maßraum ist ein Tripel, bestehend aus einer Grundmenge O, einer Sigma Algebra und einem Maß P, das auf dieser Sigma Algebra erklärt ist. Da wir WK-Theo machen, wirst du darüberhinaus fordern, dass P ein WK-Maß ist.
In deinem Fall sieht das Modell sehr einfach aus: O ist eine endliche Menge, die isomorph zu {1, ..., 32} ist, etwas genauer ist es die Menge aller möglichen Spielkarten. Deine Sigma-Algebra ist einfach die Potenzmenge von O und P legen wir bereits durch P({i}) = 1/32 für i in O eindeutig fest.
Ereignisse sind jetzt all jene Mengen, welche Teilmengen von O sind. Du hast ja keine weiteren Angaben über das Kartenspiel gemacht, das wir betrachten. Daher betrachte ich einfach mal ein Skat Deck, das insgesamt 32 Karten umfasst, darunter vier Farben (Karo, Herz, Pik, Kreuz) und zu jeder Farbe gibt es die acht Symbole 7, 8, 9, Bube, Dame, König, 10, Ass. In diesem Szenario wären deine Mengen A, B also gegeben als
A = {Karo 7, Karo 8, ..., Karo König, ..., Karo Ass},
B = {Karo König, Herz König, Pik König, Kreuz König}
und natürlich lässt sich der Schnitt dieser beiden Mengen bilden. Genau genommen liegt im Schnitt beider Mengen genau eine Karte, nämlich Karo König. Nach obiger Verteilung hast du also
P(A & B) = P({Karo König}) = 1/32.
Um zu prüfen, dass die beiden Ereignisse unabhängig sind, musst du zeigen, dass
P(A & B) = P(A) * P(B)
gilt. Und tatsächlich ist
P(A) * P(B) = (8/32) * (4/32) = (1/4) * (1/8) = 1/32,
d.h. A und B sind (stochastisch) unabhängig. Bedenke aber, dass das nichts mit der Tatsache zu tun hat, dass man nur ein einziges mal zieht. Die Intuition ist eher wie folgt:
verändert die Tatsache, dass meine gezogene Karte ein König ist, die WK dafür, dass die Farbe der Karte Karo ist? Nein, tut es nicht, da für jede Farbe jedes Symbol genau ein mal vorkommt (und umgekehrt). Egal ob ich bereits weiß, dass die Karte einen König zeigt, ist die Farbe noch immer unbeirrbar offen. Die WK dafür, Karo zu ziehen, wenn ich weiß, dass meine Karte ein König ist, ist also exakt identisch zu der Wahrscheinlichkeit, überhaupt Karo zu ziehen, ungeachtet dessen, welches Symbol die Karte hat. Wenn wir den Begriff der bedingten Verteilung nutzen, würde sich dieses Ergebnis als P(A | B) = P(A) niederschreiben lassen. Die Umkehrung, P(B | A) = P(B), ist natürlich ebenso richtig.
7 karokarten , die achte wird zu den Königen gezählt ?
Denn korrekt wäre
P(karo) = 8/32 = 1/4
P(König) = 4/32 = 1/8
Karo und König zugleich entspricht doch nur einer Karte , oder ? also 1/32
und 1/4*1/8 ist wieviel ?
Schon klar, du kürzt jetzt - Würde ich auch tun.
7/32 * 4/32 = 7/32 * 4/32
1/32 = 1/32
Und wieso wird hier jetzt von einem Und-Ereignis Mathematisch gesprochen, wenn man sich diese Gleichung da anschaut, P(A geschnitten B) muss gleich sein wie P(A) * P(B)?