Kartenspiel mit 32 Karten?
Ein Kartenspiel aus 32 Karten (7, 8, 9, 10, Bub, Dame, König, As in 4 Farben). Sie ziehen nun 4 Karten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie die Karten Bub, Dame, König, As alle in derselben Farbe (dh. Karo, Herz, Pik oder Kreuz) ziehen?
Kann mir wer bei dieser Aufgabe weiterhelfen oder zumindest einen Ansatz geben?
5 Antworten
Hallo,
am einfachsten läßt sich das über die hypergeometrische Verteilung mit Binomialkoeffizienten n über k berechnen.
Betrachten wir zunächst den Fall, daß es sich bei allen Karten um Herzen handelt.
Davon gibt es 4 im Spiel: Herz Bube, Herz Dame, Herz König, Herz As von insgesamt 32 Karten.
Du ziehst vier Karten und alle vier sollen zu dieser Gruppe dieser vier Herzen gehören.
Natürlich darf dann keine der gezogenen Karten zur Gruppe der 28 anderen Karten gehören. Insgesamt ziehst Du vier aus 32 Karten.
Du rechnest [4 über 4)*(28 über 0)]/(32 über 4).
Da dieses Ergebnis nur für eine der vier Farben gilt, es aber egal ist, welche Farbe dieser Vierersatz hat, multiplizierst Du das Ganze mit 4 und kommst auf
0,000112347 oder etwa 0,0112 %.
Der Vorteil, wenn Du so rechnest, ist, daß hier von vornherein die Reihenfolge, in der gezogen wird, herausgerechnet ist, da es ja egal ist, ob etwa der König die erste, zweite, dritte oder vierte gezogene Karte ist.
Außerdem ist berücksichtigt, daß sich die Verhältnisse nach jedem Zug ändern, denn es handelt sich ja um Ziehen ohne Zurücklegen. Wenn etwa der Pik König weg ist, der eine von 32 Karten war, wäre dann das Pik As eine von den 31 restlichen Karten (oder die Pik Dame oder der Pik Bube).
Das Rechnen über die hypergeometrische Verteilung ist also immer dann geeignet, wenn es sich um Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge handelt.
Herzliche Grüße,
Willy
Vielen Dank für diese ausführliche Antwort, ist sehr hilfreich. LG
Erster Zug: Du hast vier Karten von 32. Also Wahrscheinlichkeit von 4:32 bzw. 1:8
Zweiter Zug. Du hast nur noch drei mögliche Karten von 31. Also Wahrscheinlichkeit 3:31
Dritter Zug: Du hast nur noch zwei mögliche Karten von 30. Also Wahrscheinlichkeit von 2:30.
Und so weiter. Am Ende alles Multiplizieren und fertig.
Am Anfang ist die Farbe aber vielleicht noch nicht festgelegt, da gehen noch alle 16 Karten
Du hast völlig Recht. Habe ich falsch verstanden. Dann ändert sich aber bloß der erste Zug von 4/32 zu 16/32. Der Rest bleibt identisch.
Die Wahrscheinlichkeit, dass man König, Dame, König oder Ass zieht sind 1/2.
nun steht die Farbe fest, sagen wir mal Pik. Und du hast theoretisch König gezogen
Es sind noch 31 Karten übrig, davon 3 Bube Dame, Ass in pik.
Die Wahrscheinlichkeit dass du jetzt noch eine passende Karte ziehst sind 3/31
Angenommen du ziehst die pik Dame
Nun sind noch 2 passende Karten da, nämlich pik Ass und Bube.
Die Wahrscheinlichkeit, dass du eine von ihnen ziehst, ist 2/30
Du ziehst also das pik ass.
von den 29 noch daliegenden Karten gibt es nur noch die eine passende Karte, nämlich den pik Buben. Die Wahrscheinlichkeit, dass du den ziehst, beträgt 1/29
Nun alle Wahrscheinlichkeiten mulitiplizieren: 1/2 x 3/31x 2/30 x 1/29 Das sollte das Ergebnis sein.
Die Wahrscheinlichkeit, bei der ersten Karte Bube, Dame, König oder As zu ziehen, liegt bei 1/2 (16 von 32 Karten sind möglich). Ist es ein Treffer, dann ist die Farbe vorgegeben. Ist es kein Treffer, dann ist es schon vorbei.
Für die zweite Karte ist die Wahrscheinlichkeit 3/31.
Für die dritte Karte ist die Wahrscheinlichkeit 2/30.
Für die vierte Karte ist die Wahrscheinlickeit 1/29.
Ist die Farbe von Anfang an bereits vorgegeben, ist die Wahrscheinlichkeit noch etwas niedriger:
Vielen Dank sehr hilfreich, weißt du auch wie man dies als Binominalkoeffzienten darüber berechnet bzw. richtig anschreibt? Sollte ja im Prinzip dann dasselbe Ergebnis sein oder?
Stichwort stochhastig
Vielen Dank, aber weißt du auch wie man dies als Binomialkoeffizienten angibt?