Stochastik Beispiel Impfen?
Hallo. Wir haben uns in Mathe mit Binomialverteilungen beschäftigt und haben folgende Aufgabe gerechnet (vereinfacht aufgeschrieben):
Ein Pharmaunternehmen behauptet: Unser Impfstoff hat eine Wirksamkeit von 95%.
Aufgabe: Betrachten SIe diese Aussage aus statistischer Sicht.
Ausgangslage: 30.000 Probanden davon 15.000 Wirksoff, 15.000 Placebo
Inzidenz: 100/100.000 pro Woche, Studiendauer 7 Wochen
Schritt 1: Erwartungen
Die Rechnung für die Placebo-Gruppe:
7 Wochen--> 700.100.000 P(dass jemand sich infiziert)= 7/100.000
n=15.000
E= n*p= 105--> man erwartet 105 Infizierte
Schritt 2: Ergebnisse
Placebo: 98 Infektionen, Wirkstoff: 5 Infektionen
Schritt 3: Betrachtung durch Stochastik
P(X=98)= 3,18%, P(X= 105)= 3,9% --> Die ZAhlen sind so groß, dass für jede einzelne Säule der Binomialverteilung nur eine kleine Säule übrig bleibt.
--> man nimmt eher einen Bereich--> P(90 ≤ X ≤ 120)= 87,13%--> in einem Bereich von plusminus 15 um den Erwartungswert liegen 87,13% der AUsgänge des Experiments. Die beobachteten 98 passen also gut rein.
Wirkt es ?
P(X=5)= 2*10hoch -38 --> verschwindend gering
P(0≤X≤30)= 5*10hoch-18--> auch fast null
Ergebnis: Es wirkt
Frage: Wie gut?
Vorbereitung: 95% seien real, dann müsste die Inzidenz auf 5/100.000 je Woche sinken
Hausaufgabe: Berechnungen für Bereiche 0-30 und 90-120 sowie für exakte Werte 5 und 98 durchführen und Ergebnis bewerten
So, tut mir leid für den ellenlangen Text, aber das war das, was wir in der Schule notiert hatten.
Meine Rechnung sieht so aus:
Inzidenz für 7 Wochen: 35/100.000--> p= 35/100.000; n= 15.000
P(X=5)= 0,174
P(X=98)= 1,5768*10hoch -86
P(X ≤ 30)= 1
P(90 ≤ X ≤ 120)= 0
Ich habe keine Ahnung, ob das richtig ist und wie genau ich das deuten und bewerten soll. Eigentlich habe ich aber alles so gerechnet wie wir es gelernt haben. Ich weiß, dass das eine unglaublich lange Aufgabe ist, aber ich wäre SO DANKBAR dafür, wenn jemand meine Rechnung überprüfen und mir bei der Deutung helfen könnte. Für mich ergibt die P= 1 zum Beispiel überhaupt keinen Sinn.
Vielen, vielen Dank schonmal im Voraus!
2 Antworten
ich kümmere mich nur um das :
Inzidenz für 7 Wochen: 35/100.000--> p= 35/100.000 = 0.000035 ; n= 15.000
P(X=5)= 0,174...........wirkt auf mich viel zu viel , ist aber richtig !
P(X=98)= 1,5768*10 hoch -86...................... auch korrekt
P(X ≤ 30)= 1.......zeigt mein Rechner auch an . Logisch ist das nicht , die exakte Zahl dürfte 0.99999999999999999999999999999999999999999999999999999 .... sein , der Rechner zeigt halt 1 an ..................was sagt das ? Die Fälle X = 0 bis 30 sind zu fast 100% die , die man erwarten kann ! Du siehts ja oben , was P(X=98) für einen minimalen Beitrag noch liefert .
P(90 ≤ X ≤ 120)= 0..........................wie eben . Exakt wäre : 0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001 ( oder so :)) )
Auch P(X>30) muss wegen der 1 oben nahe Null liegen .
Also : 1 und 0 sind der Einstellung des Rechners geschuldet .
Ich hab mir jetzt nicht die Mühe gemacht, das alles genau durchzulesen und nachzurechnen (außerdem hat das Halbrecht ja schon gemacht), aber eine grundsätzliche Bemerkung dazu:
Das Ganze ist zwar binomialverteilt, aber auf Grund der hohen Zahlen ist es ziemlich aufwendig, die Binomialverteilung zu verwenden.
Für Binomialverteilung mit n>20 bzw. n·p>5 wird eher die Normalverteilung verwendet (kommt im Unterricht noch, nehme ich an), weil die Berechnung dann "einfacher" ist.
Ok. Danke. Ja, die Normalverteilung hatten wir noch nicht
Ich vermute schon - aber natürlich hast du auch insofern Recht, dass TR heutzutage die Berechnung des Binomialkoeffizienten bzw. der Binomialverteilung fix als Funktion eingebaut haben.
Zu "meiner" Zeit (also im letzten Jahrtausend) waren die noch nicht soweit - ich durfte die Matura (=Abitur) sogar noch ohne TR machen (ein Jahr später hätte ich einen verwenden können).
Bezüglich "schlapp bei n=10001": Mein Rechner auf Laptop (Qualculate!) spuckte für log(10001!) ≈35 663,454 → also ein Zahl mit 36663 Ziffern. Dagegen ist 1 Googol vernachlässigbar klein 😊
Heutzutage ist es fraglich, ob die NV als Näherung der BV noch Sinn macht , alldieweil auch im TR cumFkt integriert sind ...............
Lustigerweise macht mein Rechner im Internet bei n = 10001 schon schlapp . Rechenaufwand scheint es also doch zu sein.