Sinus und Cosinus als Zeigerdiagramm?

Mal ganz davon abgesehen das I2 falsch ist, wie ist man hier auf dieser Zeiger gekommen? Anscheinend wurd hier einfach die phase genommen und auf die e-Funktion geklatscht, aber wie in aller Welt ist 4cos(-3pi/4)=4e^(-i3pi/4)?

Answer 1

[poseidon42]

Die Idee ist einfach:

A*cos(wt + b) = Re{ exp(jwt) * (A*exp(j*b)) }

A*sin(wt + b) = A*cos(wt + b - pi/2) = Re{ exp(jwt) * (A*exp(j*(b - pi/2))) }

Wenn man also nun Summen von Sinus-Signalen gleicher Kreisfrequenz w betrachtet, so folgt:

A1*cos(wt + b1) + A2*cos(wt + b2) = Re{ exp(jwt) * [A1*exp(j*b1)) + A2*exp(j*b2))] }

= Re{ exp(jwt) * (Ares*exp(j*bres)) }

Somit lässt sich die Rechnung mit Trigonometrischen Funktionen (zumindest die Addition) mittels sogenannter Phasoren (Zeiger) berechnen. So lässt sich obige Rechnung reduzieren zu:

A1*exp(j*b1)) + A2*exp(j*b2)) = Ares*exp(j*bres)

Zur Bestimmung der Phasoren betrachte die ersten beiden obigen Formeln.