Frage von Ungedacht, 58

Wann wiederholen sich Sinus, Cosinus und Tangens?

Momentan machen wir in der Schule gerade Sinus, Cosinus und Tangens. Wir rechenen goniometrische Gleichungen. Am Ende können immer 2 Werte herauskommen, weil sich die Funktionen irgenwie immer wiederholen. Ich habe das noch nicht ganz verstanden. Kann mir jemand sagen, wann sich genau welche Funktion wiederholt und wie man den zweiten Wert herausbekommt ?

Liebe Grüße Ungedacht

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 22

Der Sinus, der Kosinus und der Tangens sind periodische Funktionen.

Ihre Funktionswerte wiederholen sich somit periodisch.

Beim Sinus und beim Kosinus ist eine Periode 2π oder 360° lang, es gilt also:

sin(x) = sin(x ± 2π) bzw. sin(α) = sin(α ± 360°)
cos(x) = cos(x ± 2π) bzw. cos(α) = cos(α ± 360°)

Wenn du dich also auf der x-Achse 2π LE oder 360° nach rechts oder links bewegst, landest du wieder beim gleichen Funktionswert.

Beim Tangens ist die Periode π bzw. 180° lang, hier gilt also:

tan(x) = tan(x ± π) bzw. tan(α) = tan(α ± 180°)

Grundsätzlich kann man also sagen, dass sich die Funktionswerte bei allen drei Funktionen nach einer bestimmten Periode wiederholen.

Daher kann man z. B. auch sin(390°) auf sin(30°) herabkürzen. :)

LG Willibergi

Kommentar von Ungedacht ,

Und wie kann man bei einer goniometrischen Aufgabe dann den zweiten Wert bekommen ?

Kommentar von Willibergi ,

Das kommt ganz darauf an, wie deine Gleichung aussieht.

Ein allgemeines Lösungsschema für goniometrische Gleichungen gibt es nicht.

LG Willibergi

Kommentar von Ungedacht ,

Bei z.B. sin(X) = 30°

             cos(X) = 30°

             tan(X) = 30°

Kommentar von Willibergi ,

Die Gleichungen sind Schwachsinn. Der Sinus von etwas ist niemals ein Winkel, sondern ein einfacher Wert ohne Einheit.

Hast du die Gleichungen wirklich richtig abgeschrieben?

LG Willibergi

Kommentar von Ungedacht ,

Entschuldigung ich meine

             sin(X) = 0,7
             cos(X) = 0.9
             tan(X) = 1.5

Kommentar von Willibergi ,

Dann wendest du hier einfach die jeweiligen Umkehrfunktionen an, also arcsin, arccos und arctan.

Beispiel:

sin(x) = 0,7 ⇔ x = arcsin(0,7)

Da der Sinus aber periodisch mit einer Periode von 2π ist, musst du ganzzahlige Vielfache von 2π nocv dazuaddieren:

x = arcsin(0,7) + 2kπ mit k ∈ ℤ

LG Willibergi

Kommentar von Ungedacht ,

Genau das meine ich.

Funktioniert das auch bei allen Funktionen z.B. tan + 360 sin + 180 und cos + 180 ?

Kommentar von Willibergi ,

Na klar. Das funktioniert bei allen periodischen Funktionen.

LG Willibergi

Antwort
von ralphdieter, 7

Alle diese Funktionen sind 2π-periodisch. mit einer Lösung x hast Du gleich unendlich viele: x±2kπ. Willibergi hat das ja schön ausgeführt.

Aber ich vermute, dass Du nach der zweiten Lösung innerhalb einer 2π-Periode suchst. Die Umkehrfunktionen liefern ja immer nur den Hauptwert in einem Intervall der Länge π. Den zweiten Wert findest Du mit folgenden Formeln:

  • sin(x) = sin(π-x)
  • cos(x) = cos(-x)
  • tan(x) = tan(π+x)

Beispiele:

  • arcsin(y)=π/3 (Hauptwert). Dann passt auch π-π/3=2/3·π.
  • arccos(y)=π/3 (Hauptwert). Dann passt auch -π/3.
  • arcsin(y)=π/3 (Hauptwert). Dann passt auch π+π/3=4/3·π.

Haupt- und Nebenwert führen beide zu unendlich vielen Lösungen (±2kπ). In Sonderfällen kann es aber vorkommen, dass Haupt- und Nebenwert gleich sind oder sich exakt durch 2π unterscheiden. Dann kannst Du Dir einen davon schenken.

Antwort
von samiro, 28

Nach zwei Pi. Der Umfang des Kreises ist ja 2*Pi*Radius und der Radius im Einheitskreis ist ja 1.

Antwort
von Noaza, 29

Nach einer Periode.

Kommentar von Ungedacht ,

Die wäre ?

Kommentar von Noaza ,

Wenn der Verlauf deines Grafen an Punkten die gleiche Höhe an unterschiedlichen Stellen zur jeweiligen letzten Stelle mit gleicher Höhe aufzeigt.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d2/Sine\_one\_period.svg

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