Schiefer Wurf (maximale Wurfweite 45°, aber wie erklären?)
Hallo,
ich hab eine Hausaufgabe und muss zeigen, dass die maximale Wurfweite beim schiefen Wurf bei 45° eintrifft.
Start ist y=0 und das Ende auch.
Also wird vom Boden abgeworfen und trifft auf dem Boden wieder auf.
Wenns geht, keine Ableitung, da ich sowas noch nicht kann.
Hab selber schon was gefunden, aber so richtig verstehen tu ich es nicht :/
http://www.leifiphysik.de/web_ph11/umwelt-technik/06schieferwurf/schieferwurf3.htm
3 Antworten
Stelle ich einmal eine Gegenfrage: Was verstehst Du auf der leifiphysik nicht? Ich finde die Darstellung eigentlich sehr gut - und sie beweisen es so, wie Du es brauchst ohne Ableitung.
Zuerst werden im grünen Kasten die 4 Gleichungen für x(t), y(t) (also für Weite und Höhe) und für die Geschwindigkeitskomponenten vx(t) und vy(t) aufgestellt.
(Sind die schon unklar?
Bei dem Wurf wird davon ausgegangen, dass vo konstant bleibt und die weitere Beschleunigung nur aus dem freien Fall kommt. Die Formeln ergeben sich also aus der Addition der Formeln für die gleichförmige Bewegung zur gleichförmig beschleunigten Bewegung.)
Dann wird Ausgangshöhe yo = 0 gesetzt und aus y(tw) = 0 eine Bedingung für tw ausgerechnet. Das ist dann die Formel
tw = 2* vo/g * sin(alpha)
Gab es bis hier ein Verständnisproblem?
Als nächstes wird dieses tw in die Gleichung für x(t) eingesetzt (x(t) = vo * cos(alpha) *t)
ergibt x(tw) = 2 vo^2/g * sin(alpha) * cos(alpha)
Gab es bis hier ein Verständnisproblem?
Dann wird ein sogenanntes Additionstheorem benutzt. Das ist eine allgemeine Formel für Umformungen von Sinus und Cosinus.
Die Formel lautet sin(2X)=2sin(X)*cos(X)
Das ist jetzt die Frage, ob Ihr die schon gelernt habt. Die steckt nämlich im nächsten Schritt.
x(tw) = 2 vo^2/g * sin(alpha) * cos(alpha) = (wegen Formel) = vo^2/g * sin(2 alpha)
Und hier ist klar (ohne Ableitung), wo das Maximum liegt, weil der Sinus ja maximal den Wert 1 hat, wenn 2 * alpha = 90°
Ohne obige Formel und ohne Ableitung wüsste ich jetzt auch keinen Weg.
Falls Ihr die Formel noch nicht hattet: hier findest Du eine einigermaßen verständliche Herleitung der Additionstheoreme
(nicht erschrecken: auf der Seite werden 3 verschiedene Herleitungen gezeigt. Für Deine Stufe kommt nur Weg (i) in Frage. Du brauchst also nur dn oberen Teil anschauen.)
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/erlaeuterung/erlaeuterung38/
Grüße
Wenns geht, keine Ableitung, da ich sowas noch nicht kann.
Schlecht, denn dass ein Maximum vorliegt, pflegt man mittels Ableitung zu beweisen.
Alternativ kannst Du aber die Wurfweite für 44° und für 46° berechnen und zeigen, dass beide kleiner sind als bei 45°.
Du kannst dir einen schiefen Wurf als Überlagerung eines senkrechten Wurfes nach oben und einer waagerechten Bewegung vorstellen (nennt sich superpositionsprinzip). Wie sich die Geschwindigkeit auf die Komponenten aufteilt ist ja unter deinem link eingezeichnet (einmal v sin α und einmal v cos α) Die entsprechende Gleichung für den senkrechten Wurf sollte man wenn ich das richtig sehe nach der zeit (in Abhängigkeit vom Winkel) umstellen können und diese in die Gleichung für die waagerechte Bewegung (einfach eine gleichmäßige Bewegung mit entsprechender Geschwindigkeit) einsetzen. So erhält man die wurfweite. Wie man ihr Maximum ohne ableiten bestimmt weis ich jetzt nicht, aber da sollten ja hauptsächlich sin und cos drinsein, so das man das Maximum evtl. auch durch scharfes hinsehen erkennen kann ;)
das weiss ich ja alles schon :D
es geht nur um die maximsle weite :)