Herleitung Weite beim schiefen Wurf mit Anfangshöhe?
Bis zu einer gewissen Formel kann ich zwar die Wurfweite des schiefen Wurfs mit Anfangshöhe berechnen, aber es ist nicht die Endformel, die man überall im Internet findet... gerne würde ich aber die einzelnen Schritte verstehen und nicht stumpf auswendig lernen - hat jemand eine detaillierte Herleitung?
2 Antworten
Für die Herleitung selbst gibt es mehrere Ansätze, ich verwende mal einen davon.
Dazu spalte ich zuerst die Anfangsgeschwindigkeit mit dem Abwurfwinkel in eine x und y Koordinate auf.
x Horizontal, y Vertikal.
vx0 = v*cos(alpha)
vy0 = v*sin(alpha)
Die Zahl 0 steht dafür, dass es sich um die Geschwindigkeit zu beginn des Wurfes handelt.
Für die y Koordinate setze ich jetzt die Impulserhaltung an:
d/dt (m*vy) = -m*g
Also gepsrochen die Zeitliche Änderung des Impuleses ist die Erdanziehungskraft. Die Variable y nehme ich darum für die Geschwindigkeit weil diese jetzt noch nichts mit unserem vy zu tun hat.
Jetzt nach der Zeit integrieren:
m*vy = -m*g*t + v0
vy = -g*t + v0
Zum Zeitpunkt t=0 also beim Abwurf gilt vy = v0 und wir können daher unser v0 mit unserem vy0 identifizieren.
Daraus ergibt sich jetzt : vy = -g*t + vy0
Im Prinzip steht aber hier wieder nichts anderes als:
d/dt(y) = -g*t + vy0
Also Integriere ich nochmal:
y = -g*t²/2 + vy0*t + y0
Zum Zeitpunkt t = 0 haben wir wieder y = y0. Weil wir bei t0 unsere Abwurfhöhe haben haben wir y0 durch unsere Anfangshöhe identifiziert.
Das selbe machen wir auch für x
d/dt(x) = vx0
x = vx0*t + x0
Weil wir davon ausgehen, dass wir unsere Wurfweite vom derzeitigen Standpunkt berechnen setzen wir x0 = 0
x = vx0*t
Der Wurf ist zuende wenn die Masse den Boden berührt also
y(t) = 0
-g*t²/2 + vy0*t + y0 = 0
Und damit sind wir eh schon fast beim Ziel.
Aus der Formel für y berechnen wir uns jetzt die Flugzeit und setzen die in die Wurfweite bei x ein.
t² - 2*vy0*t/g - 2*y0/g = 0
t = vy0/g +/- sqrt(vy0²/g² + 2*y0/g)
Weil wir nur positive Zeiten betrachten haben wir als Ergebnis:
t = vy0/g + sqrt(vy0²/g² + 2*y0/g)
Einsetzen in die Gleichung für x ergibt unsere Wurfweite:
x(vx0,vy0,y0) = vx0*(vy/g + sqrt(vy²/g² + 2*y0/g))
natürlich kannst du y0 auch durch h ersetzen oder ähnliches.
Btw du kannst in der Klammer noch vy²/g² herausheben:
x(vx0,vy0,y0) = vx0*(vy/g + sqrt(vy²/g² + 2*y0/g))
x(vx0,vy0,y0) = vx0*(vy/g + sqrt(vy²/g² * (1 + 2*g²*y0/(g*vy²)))
x(vx0,vy0,y0) = vx0*(vy/g + vy/g* sqrt(1 + 2*g*y0/vy²))
x(vx0,vy0,y0) = vx0*vy/g*(1 + sqrt(1 + 2*g*y0/vy²))
gegeben seien die Start-Geschwindigkeit v0, der Abwurfwinkel alpha und die Start-Höhe h0.
an teilt die Start-Geschwindigkeit v0 in eine Geschwindigkeit vh senkrecht zur Gravitations-Kraft und eine Geschwindigkeit vv parallel zur Gravitations-Kraft auf...
dann hat man vh·t - g·t = -h0
und vv·t = we
oda?
ich mein: auf welche Formel kommst Du denn?
http://www.frustfrei-lernen.de/mechanik/schiefer-wurf-physik-mechanik.html
ach je: in „vh·t“ ist das „·t“ zuviel... und ich hab vv und vh verwechselt... und ne Geschwindigkeit ist keine Strecke (also statt „-h0“ lieber „-h0/t“)...
also:
vv-g·t=-h0/t , vh·t=we
we/vh=t
vv-g·we/vh=-he·vh/we
vv·we·vh-g·we²=-h0·vh²
we²+(-vv·vh/g)·we+(-h0·vh²/g)=0
we = (vh (sqrt(4 g h0 + vv^2) + vv))/(2 g)sieht anders aus...dann fällt mir auch nix mehr ein dazu... :)
zu Deiner Formel:
(vy*vx/g)^2 + 2vx^2 *h/g
= (vy*vx/g)^2 · (1 + 2vx^2 *h/g/((vy*vx/g)^2))
=1 + (2 g h)/(v^3 y^2)
also ist bei Dir einmal „v²“ zuviel im Nenner...
keine Ahnung wo die herkommen...
So leicht ist das leider nicht :[ die Endformel ist etwas komplizierter und lautet:
vy*vx/g + vy*vx/g * Wurzel aus [1+ 2gh/vy^2]
bzw. mit Sinus irgendwie so eingsetzt: http://fed.matheplanet.com/mpr.php?stringid=26930881
Komme aber leider nur auf:
vy*vx/g ± Wurzel aus [ (vy*vx/g)^2 + 2vx^2 *h/g]