Scheitelpunktform bei potenzfunktion?
Gibt es das ? Und wie würde man die allgemeine Form in die scheutelpunktform umwandeln?
5 Antworten
Scheitelpunkte gibt es bei allgemeinen Potenzfunktionen höheren oder niedrigeren Grades als 2 nicht. Ein Scheitelpunkt ist das Privileg einer Parabel. ;-)
Extrempunkte könnte man allerdings durchaus berechnen - dafür benötigt man aber in aller Regel die Ableitung, um das entsprechende lokale Minimum bzw. Maximum zu berechnen.
f(x) = 1/3 x³ + 1/2 x² - 6x hätte beispielsweise bei x = -3 einen Hochpunkt und bei x = 2 einen Tiefpunkt (Nullstellen von f'). Das könnte man in der Analogie durchaus als zwei "Scheitelpunkte" sehen, aber als mathematischer Begriff wäre dieser nicht richtig.
Auch Potenzfunktionen mit geradem Grad wie f(x) = x⁴ haben übrigens keinen Scheitelpunkt - auch wenn es ganz danach aussieht. Es bleibt dabei - Scheitelpunkte gibt es nur bei quadratischen Funktionen.
LG
Die Scheitelpunktform gibt es nur bei der Parabel.
Dies ist eine "ganzrationale Funktion" 2.ten Grades
allgemeine Form y=f(x)=a2*x^2+a1*x+ao
höchster Exponent n=2 deshalb Funktion 2.ten Grades
Scheitelpunktform ist y=f(x)=a2*(x-xs)^2+ys
Scheitelkoordinaten bei xs=-(a1)/(2*a2) und ys=-(a1)^2/(4*a2)+ao
Umwandlung : einfach die Zahlen a2,a1 u. ao in die Formeln einstzen und xs und ys ausrechnen
Dann die Werte einsetzen.
Der umfassende Begriff ist Extremwert. Die gibt es dann bei allen Potenzfunktionen in der Anzahl von Rang - 1.
Das gilt auch für quadratische Funktionen. 2 - 1 = 1.
Eine quadratische Funktion hat einen Extremwert,
und da es etwas Besonderes ist, nennt man diesen auch
Scheitelpunkt.
So wie man beim Zerlegen der Potenzfunktionen die Anzahl der Nullstellen in der Anzahl der Linearfaktoren wiederfindet, bedeutet die 1. Ableitung (in Linearfaktoren zerlegt) die Menge der Extremwerte und ihre Positionen.
Folglich hat die 1. Ableitung einer Kurve 3. Grades auch einen Scheitelpunkt.
Das Ablesen oder besser: Errechnen der Extremwerte geschieht durch Nullsetzung der 1. Ableitung.
Die Scheitelpunktform gibt es bei den quadratischen Funktionen.
Die Grundgleichung der Scheitelpunktform lautet:
f(x) = a(x-d)² + e
Der Scheitelpunkt ist dann S(d|e).
Wichtig:
Dabei wird, wie du siehst, das Vorzeichen vom Buchstaben d gewechselt!
Beispiel:
g(x) = 2(x-1)² - 3
Bei der Funktion ist der Scheitelpunkt nun S(1|-3).
Wenn du die Funktionsgleichung in der Normalform f(x) = ax² + bx + c stehen hast, musst du die quadratische Ergänzung anwenden, um die Gleichung in die Scheitelpunktform zu bringen. Wie das geht, habe ich hier ausführlich erklärt:
Hier auch direkt das passende Video dazu:
https://youtube.com/watch?v=WtADWqKt5UM
Liebe Grüße
TechnikSpezi
Da gibt es an sich nicht mehr den Scheitelpunkt. Da sprechen wir dann wenn von den Extrempunkten, wovon es aber auch mehrere geben kann.
Ein Extrempunkt ist ein Hoch- oder Tiefpunkt. Diese kannst du zusammen mit der 1. und 2. Ableitung (oder 1. und dem Vorzeichenwechselkriterium) berechnen.
Beispiel:
f(x) = 2x³ + 3x²
f'(x) = 6x² + 6x
f''(x) = 12x + 6
Notwendige Bedingung: f'(x) = 0
6x² + 6x = 0
x(6x + 6) = 0
x1 = 0 v 6x + 6 = 0 |-6
x1 = 0 v 6x = -6 |:6
x1 = 0 v x2 = -1
Hinreichende Bedingung: f''(x) ≠ 0
f''(0) = 6 > 0 --> Tiefpunkt bei x1=0
f''(-1) = -6 < 0 --> Hochpunkt bei x2=-1
Jetzt setzen wir nochmal in die Ausgangsfunktion ein, um die y-Koordinaten zu berechnen:
f(0) = 0
Der Tiefpunkt liegt also bei TP(0|0).
f(-1) = 1
--> Hochpunkt bei HP(-1|1)
Genaue Anleitungen und mehr dazu findest du hier:
Der Scheitelpunkt einer quadr. Funktion ist ebenso ein Extrempunkt, den wir auch berechnen können. Nehmen wir die Funktion von ganz oben aus der Antwort. Dazu müssen wir die Scheitelpunktform erstmal auf die Normalform bringen:
f(x) = 2(x-1)² - 3
f(x) = 2(x²-2x +1) - 3
f(x) = 2x² - 4x + 2 - 3
f(x) = 2x² - 4x - 1
Jetzt können wir einfach ableiten:
f'(x) = 4x - 4
f''(x) = 4
Die Bedingungen und alles schreibe ich jetzt nicht nochmal auf.
4x - 4 = 0 |+4
4x = 4 |:4
x = 1
f''(1) = 4 > 0 --> Tiefpunkt bei x=1
f(1) = 2*1 - 4*1 - 1
f(1) = 2-4-1
f(1) = -3
Tiefpunkt bei TP(1|-3). Das entspricht dem Scheitelpunkt, den wir vorher schon ablesen konnten!
Scheitelpunktsform gibt es nur bei quadratischen Funktionen.
Dankeschön aber wie ließt man den scheitelpunkt bei einer potenzfunktion 🤔