Sagt die Substitution nicht aus, dass ich nur etwas substituieren darf, wenn das, was ich substituiere, dessen Ableitung als Faktor vorhanden ist?
Hier wurde Wurzel(1+x) substituiert. AN SICH habe ich kapiert, wie das substituiert wurde, ich kapiere nur nicht, warum das erlaub ist, weil:
Sagt nicht dei Definition aus, dass ich nur substituieren kann, wenn das was ich substituiere, als Ableitung in meiner funktion ist?
Meine funktion ist hier f(x)=x * Wurzel(x+1), ich substituiere Wurzel(x+1), also muss doch dessen ABleitung, was 1/(2Wurzel(x+1)) ist als Faktor beim Integral vorhanden sein, was ja nicht der Fall ist?
2 Antworten
Hallo,
muß nicht. Abgesehen davon, daß sich dieses Integral auch über die partielle Integration lösen läßt, führt auch die Substitution √(x+1)=h zum Ziel.
Zunächst muß natürlich der Substitutionsausgleich berechnet werden, indem von dem, was substituiert wird, die Ableitung gebildet wird:
√(1+x)=(1+x)^(1/2). Ableitung daher (1/2)*(1+x)^(-1/2) (Kettenregel).
Es gilt also dh/dx=(1/2)*(1+x)^(-1/2) und damit dx=dh/[1/2)*(1+x)^(-1/2)].
Am Ende des Substituierens darf natürlich keine alte Variable mehr übrigbleiben. Es darf nur noch eine von h abhängige Funktion da stehen, in der kein x mehr vorkommt.
Mit Substitutionsausgleich haben wir
[x*(1+x)^(1/2)]/[1/2)*(1+x)^(-1/2)]=[x*(1+x)^(1/2)]*[2*(1+x)^(1/2)]=2x*(1+x).
Wenn √(1+x)=h, dann 1+x=h² und x=h²-1.
Dann ist 2x*(1+x)=2*(h²-1)*h²=2h^4-2h^2.
Dazu ist nach der Potenzregel leicht eine Stammfunktion zu finden:
F(h)=(2/5)h^5-(2/3)h^3.
Nun kannst Du entweder für h wieder √(1+x) einsetzen oder - was einfacher ist, die Grenzen verändern.
Die alten Grenzen waren x=0 bis x=3.
Da x=h²-1, ist die untere Grenze 1, denn 1²-1=0.
Die obere Grenze ist 2, denn 2²-1=3.
Du íntegrierst also (2/5)h^5-(2/3)h^3 von 1 bis 2 und kommst auf 116/15.
Noch einmal: Du darfst substituieren, wonach immer Dir ist. Hauptsache, Du kommst irgendwie zum Ziel.
Herzliche Grüße,
Willy
Sagt nicht dei Definition aus, dass ich nur substituieren kann, wenn das was ich substituiere, als Ableitung in meiner funktion ist?
Nein, du kannst die Zu integrierende Funktion vorher mit h'(x)/h'(x) multilpiziren, was immer 1 ist wenn h'(x) nicht 0 ist, weswegen das Integral unverändert bleibt.
Das h'(x) im zähler verschwindet dann durch die Substitutionsregel, das im Nenner musst du dann irgendwie wegkürzen.
Im übrigen darf man substituieren, was man will - es bringt nur nicht immer etwas.
"Substitution funktioniert nur dann, wenn die Ableitung dessen, was du substituierst, in der Funktion als Faktor vorkommt (oder wenn man die Funktion so umschreiben kann, dass das der Fall ist)." Das hat aber jemand anderes gesagt
https://www.gutefrage.net/frage/kann-man-statt-partielle-integration-immer-die-substitution-nehmen
"du kannst substituieren"
Und
"Die Substitution funktioniert"
Sind zwei unterschiedliche Dinge. Und wie gesagt, diese Umformung, dass der Faktor vorkommt ist immer möglich, wie du es bei meiner Antwort siehst. Es kann aber sein, dass durch die Substitution das Integral noch komplexer wird oder so.
Okay danke, aber was meint man damit, dass bei h´/h´ dann das im Zähler verschwindet also 1 wird, aber nenner belibt? das geschieht ja dadurch, dass ich dh/dx umschreibe oder?
So anders ist das nicht, es könnte durchaus dasselbe gemeint sein. Wenn du nämlich hier im Beispiel mit h'(x)/h'(x) multiplizierst, dann ist die Ableitung als Faktor vorhanden. Und dann kann man die Substitution durchführen.
Okay gut, ich kann h´/h´ schreiben, aber warum verschwindetr dann h´ im zähler?
Aso!! Sehr guter Trick, normalerweise ist es ja so ich nehme dh/dx=Ableitung und forme nach dx um. Und das ist immer gleich 1/ABleitung, muss dann nicht immer rechnen, danke dir!
Also könnte ich auch sagen Wurzel(x+1)=0 ? Das dürfte ich ja nicht, würde mir ja nichts bringen oder?