Rotation einer Flussigkeit?
Hallo Community,
Im Anhang findet ihr die Aufgabe. a) und b) habe ich schon selber gelöst, aber bei c) stehe ich auf dem Schlauch. Kann mir da jemand weiter helfen?
Mfg :)
4 Antworten
Hallo,
Du mußt das Rotationsvolumen nach der Formel pi*Int [f(x)]²dx berechnen.
So bekommst Du das Volumen des Paraboloids heraus, das Du vom Zylinder mit der Grundfläche 4pi und der Höhe 4 abziehen mußt.
Die Differenz ergibt die Flüssigkeitsmenge.
Teilst Du diese durch 4pi, bekommst Du die Höhe der nichtrotierenden Flüssigkeit heraus. Vorsicht: Der Boden liegt bei -1, nicht bei 0.
Herzliche Grüße,
Willy
Die Fläche (Im rotierenden Fall die blaugefärbte), muss stets gleich sein (unter der vereinfachenden Annahme, dass die Flüssigkeit inkompressibel ist), da sich ja stets die gleiche Menge Wasser in dem Behältnis befindet. Es folgt:
Arot = Astill
Im nichtrotierenden Fall ist die Wasseroberfläche Flach und die Fläche demnach ein Rechteck, dessen Fläche folgt zu;
Astill = h*b mit Höhe h und Breite b.
Es folgt damit:
Arot = Astill = h*b
Umformen nach der Höhe liefert:
h = Arot/b
Die Breite b ist hierbei der Grafik zu entnehmen und die Fläche Arot lässt sich mittels eines Integrals bestimmen über die gezeigte quadratische Funktion von x = -2 bis x = 2.
Wenn Du b) schon gelöst hast (Volumen V), dann berechne die Höhe eines Zylinders mit dem Radius r = 2E:
h = V / ( π • r²)
Integral / 4
Welches Integral genau?