Was ist ein Ring in der Mathematik?
Hallo,
könnte mir jemand zugänglich erklären was ein Ring ist.
Ich habe mir schon Definitionen angesehen, aber ich habe nicht wirklich das Gefühl, es verstanden zu haben.
Dankeschön :)
Und wo das zB vorkommt….
Welche Definitionen hast du gefunden?
auf Wikipedia zB
3 Antworten
Ein Ring ist eine Menge auf deren Elemente man zwei verschiedene Operationen ausführen kann, die bestimmte Eigenschaften erfüllen. Oder anders ausgedrückt:
Ein Ring ist alles, was sich strukturell genauso verhält wie die ganzen Zahlen (bzgl. Addition und Multiplikation).
Ein Körper (Ein Ring mit zusätzlichen Eigenschaften) ist alles, was sich strukturell genauso verhält wie die rationalen Zahlen (bzgl. Addition und Multiplikation).
Das sind lediglich Definitionen mit denen man Mengen und Operationen auf diesen Kategorien zuordnet um dann Sätze die für Konstrukte dieser Kategorie gelten nachweislich darauf anwenden zu können.
Das ist besonders interessant bei z.B. dem Konstrukt Vektorraum. Denn Vektoren sind ein viel allgemeineres Konzept als Verschiebungen oder Pfeile.
Es geht bei der Gruppentheorie einfach darum sehr grundlegende Strukturen in der Mathematik zu finden, zu untersuchen und vor allem zu benennen. (Ich kenne mich leider nicht genug damit aus um da näher drauf einzugehen). Ein interessantes Video dazu https://www.youtube.com/watch?v=mH0oCDa74tE
Und wo das zB vorkommt
Z.B. bei endlichen Körpern. Stichwort Restklassenring. Der Hat unter anderem in der Kryptographie Relevanz
Ein Ring ist irgendwas, auf dem man addieren und multiplizieren kann, sodass die uns geläufigen Rechenregeln erfüllt sind: Assoziativität, Kommutativität [zumindest bei der Addition], Distributivität.
Es wird zudem gefordert, dass ein Ring ein "Nullelement" hat, i.e. ein Element 0, das man zu allem addieren kann, ohne den Wert zu ändern: x + 0 = x.
Es wird weiterhin (mehr oder weniger indirekt) gefordert, dass es auf dem Ring eine Subtraktion gibt.
Division hingegen ist uns für Ringe egal.
Beispiele für Ringe sind:
- Die meisten gängigen Zahlenbereiche (die ganzen Zahlen, die reellen Zahlen, die rationalen Zahlen, die komplexen Zahlen) mit der normalen Addition und Multiplikation. Die natürlichen Zahlen sind eine Ausnahme, weil auf denen keine Subtraktion existiert [z.B. (1 - 2) ist keine natürliche Zahl, obwohl 1 und 2 beides natürliche Zahlen sind].
- Sogenannte Restklassenringe, die in der Zahlentheorie (und infolgedessen der Kryptographie) eine große Rolle spielen.
- Matrizenringe, mit Matrix-Addition und Matrix-Multiplikation.
Wie man spätestens am Matrix-Beispiel sieht: Die Begriffe "addieren" und "multiplizieren" sind hier weit gefasst - sie müssen i.A. überhaupt nichts mit den Operationen auf den Zahlen zu tun haben, wie wir sie kennen. Hauptsache ist, dass sie die Rechenregeln erfüllen.
Ich danke Ihnen, eine sehr gute, verständliche Erklärung
Ein Ring ist eine Scheibe mit einem Loch drin