Frage von friizey, 28

relative Lage bestimmen?

Hallo Leute, kann mir vielleicht einer erklären, wie man die 'relative Lage' bestimmen kann ? Die Aufgabe lauter um genau zu sein : "Gesucht ist die relative Lage von g und h." -> -> a) g:x = (0/1/2) + r (2/1/-3) ; h:x = (-2/-2/7)+ s (-2/1/1)

Diese Aufgabe ist unter anderem eine der Aufgaben, die wir vom Lehrer bekommen haben, ohne etwas im Unterricht besprochen zu haben. (Er ist auf einer Fortbildung)

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 13

Hallo,

wenn Du weißt, was ein Kreuzprodukt ist, ist die Sache einfach.

Wenn das Produkt aus der Differenz der beiden Stützvektoren mit dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren gleich Null ist, dann liegen beide Geraden in einer Ebene und ihr Abstand ist gleich Null.

Das heißt, daß sie in diesem Fall entweder identisch sind (dann ist das Kreuzprodukt der Nullvektor) oder daß sie sich in einem Punkt schneiden.

Ist das besagte Produkt ungleich Null, befinden sich die beiden Geraden in unterschiedlichen Ebenen und sind windschief zueinander.

Zwei Geraden können auch noch parallel sein.

Dann muß es einen Faktor geben, mit dem Du den Richtungsvektor der einen Geraden in den der anderen überführen kannst.

Letzteres solltest Du zuerst überprüfen:

a*(2/1/-3)=(-2/1/1)

Diese Gleichung ist für kein a erfüllbar. Du kommst zwar von -2 auf 2, indem Du es mit -1 multiplizierst, das klappt aber schon mit der zweiten Komponente nicht: -1*1 ist nicht 1.

Die Geraden sind also nicht parallel und auch nicht identisch.

Dann schneiden sie sich entweder oder sie sind windschief.

(-2/-2/7)-(0/1/2)=(-2/-3/5)

(2/1/-3)x(-2/1/1)=(4/4/4)=(1/1/1) (gekürzt durch 4)

(-2/-3/5)*(1/1/-1)=0 Die Geraden schneiden sich.

Um den Schnittpunkt herauszufinden, mußt Du die Geraden gleichsetzen.

Dabei reicht es, wenn Du ein Gleichungssystem mit den beiden ersten Komponenten aufstellst:

2r+2s=-2
r-s=-3

r=-2, s=1

Zur Probe setzt Du die Werte für r und s in beide Geradengleichungen ein. Wenn sich bei beiden der gleiche Punkt ergibt, ist das der Schnittpunkt (-4|-1|8)

Den Winkel Phi berechnest Du über die Formel:

cos (Phi)=g*h/(|g|*|h|), also der Quotient aus dem Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren und dem Produkt aus deren Beträgen.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von Zwieferl, 10

Was gibt es mögliche Lagen von Geraden zueinander?

  1. parallel
  2. ident
  3. Schnittpunkt
  4. windschief

Überprüfen, ob Richtungsvektoren parallel:
   *) wenn ja: es muß 1. oder 2. sein
   *) wenn nein: es muß 3. oder 4. sein

Überprüfen, ob Punkt von g auf h liegt:
   *) wenn ja: 2. oder 4.
   *) wenn neine: 1. oder 3.

Fertig! 😎

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 9

untersuche, ob

identisch

parallel

Schnittpunkt

windschief

alles bei google erklärt.

Antwort
von poseidon42, 8

Gibt 4 Möglichkeiten:

Alle sind hier aufgeführt und ausführlich erläutert:

http://www.mathebibel.de/lagebeziehungen-von-geraden

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