Referat über Medizin in Mathe?
Hallo!
Ich muss demnächst ein Referat in Mathe halten und kann mir dazu ein Thema frei ausdenken.
Da ich sehr an der Medizin interessiert bin, würde ich gerne über mathematische Verfahren in der Medizin (gerne auch in der Medizintechnik) oder Ähnliches halten.
Das Referat dauert ca 30 min, soll die Klasse mit einbinden und sollte natürlich zeigen, wie spannend das Fach sein kann.
Gibt es mathematische Verfahren, die in der Medizin(technik) angewendet werden und die man gut präsentieren kann? Falls ja, immer her damit!
Vielen Dank im Voraus!
PS: Oberstufenniveau (trotzdem nicht allzu schwer)
8 Antworten
Ich wuerde Dir auch die Computertomographie (CT) als Anwendungsgebiet linearer Gleichungssysteme vorschlagen. Man findet dazu zwar einige Quellen im Internet, aber ich moechte Dir als Startpunkt eine eigenstaendige Zusammenfassung geben:
Verschiedene Materialien (Knochen, Fett, Muskelgewebe, Keramik, ...) absorbieren Strahlung unterschiedlich stark. Wie stark, beschreibt man mit dem sogenannten Absorptionskoeffizienten (AK); dies ist eine positive Zahl (je groesser, desto staerker wird Strahlung absorbiert). Genauer gilt (vgl. auch https://de.wikipedia.org/wiki/Absorptionskoeffizient):
Schauen wir uns nun an, was passiert, wenn ein Roentgenstrahl hintereinander zwei verschiedene Materialien durchlaeuft:
Analoge Formeln erhaelt man auch fuer drei und mehr Materialien: Die Summe der Produkte aus im Material zurueckgelegter Strecke mit dem jeweiligen AK ergibt den Logarithmus des Intensitaetsverhaeltnisses. Eine Messung von Eingangs- und Ausgangs-Intensitaet liefert also die rechte Seite dieser Gleichungen - und damit eine lineare Gleichung fuer die AK.
Die Grundidee der CT ist nun folgende: Man denkt sich einen Querschnitt des zu untersuchenden Objekts in viele kleine Pixel / Quadrate aufgeteilt. Jedes dieser Quadrate hat seinen eigenen AK. Bestrahlt man das Objekt nun aus verschiedenen Richtungen und misst jeweils Eingangs- und Ausgangs-Intensitaet, kann man lineare Gleichungen fuer diese AK sammeln. Hat man genug Gleichungen, kann man die unbekannten AK rechnerisch bestimmen. Hier ein Beispiel fuer neun Pixel (Hoehe und Breite ℓ):
Die fuenf rot dargestellten Strahlen legen in jedem Pixel die Strecke ℓ zurueck, der gruene Strahl √5/2 * ℓ und die drei blauen Strahlen jeweils √2 * ℓ. Die Logarithmen aus den jeweils gemessenen Intensitaetsverhaeltnissen kuerze ich der Uebersichtlichkeit wegen mit v1, v2, ..., v9 ab. Insgesamt lauten die neun linearen Gleichungen:
Ueber dieses Gleichungssystem kannst Du (theoretisch auch von Hand) die AK bestimmen. Schliesslich faerbst Du die neun Pixel entsprechend der AK ein (je hoeher der AK, desto heller). Dies liefert ein sw-Bild des untersuchten Querschnitts. Bei genuegend hoher Aufloesung kann man dann z.B. Knochen von Muskelgewebe unterscheiden. Ich gebe Dir ein Rechenbeispiel mit Loesung (nachrechnen solltest Du zur Kontrolle selbst):
Vom Prinzip her kann man so auch hochaufloesendere Bilder erstellen; fuer jedes Pixel benoetigt man eben eine Gleichung. Um aus noch mehr Richtungen messen zu koennen, dreht sich ein CT-Geraet um das zu untersuchende Objekt herum.
Dies sollte fuer einen Schulvortrag ausreichend erklaeren, wozu man lineare Gleichungssysteme verwenden kann und warum man an moeglichst guten Loesungsverfahren interessiert ist: Fuer ein detaillierteres Bild, sagen wir 1000x1000 Pixel, haette man ja schon eine Million Gleichungen!
In der Praxis ist das alles wie erwartet ein bisschen komplizierter (vielleicht ein moeglicher "Ausblick" fuer Deinen Vortrag): Es koennte z.B. passieren, dass das Gleichungssystem aufgrund von Messfehlern (oder auch weil sich das Objekt bewegt) nicht loesbar ist. Man kann sich also fragen, wie man dennoch eine moeglichst gute Loesung (die die Gleichungen in etwa erfuellt) finden kann. Unterm Strich verwendet man heute effektivere Verfahren zur Bildrekonstruktion (vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Gefilterte_R%C3%BCckprojektion), aber die hier beschriebene Grundidee findt sich in diesen immer noch wieder.
Ich finde die Abbildungen klasse und die praktische Anwendung ist ganz klar gegeben! Somit denke ich, dass das ein sehr gutes Thema ist!
Woooow!! Das nenn ich mal ausführlich! Vielen, vielen Dank für die Mühe!
weiß nicht ob das vielleicht zu kompliziert ist aber die Fouriertransformation wird sehr häufig verwendet ;) ist halt eher ein Grundlagenverfahren und hat nicht nur in der Medizintechnik Anwendung...
findet man aber überall in der Signalverarbeitung:)
Bei der Kernspintomo. werden LGS benutzt.
Also könnte man das Lösen von LGS als Thema nehmen.
Gaus-Verfahren usw.
Ich würde es vielleicht mal mit Epidemiologie versuchen. So einen groben Überblick. Das ist hauptsächlich Statistik mit Bezug zu Krankheiten und Medikamenten. Das ist zwar nicht Medizin, geht aber in die Richtung Gesundheitswesen.
Titerbestimmung
Bakterienwachstum
Berechnung der Wahrscheinlichkeit, mit der jemand der auf "krank" oder "gesund" getestet wurde, tatsächlich krank oder gesund ist