Reagiert Ca(OH)2 mit H2CO3 zu CaCO3 und 2H2O?

Unwahrscheinlich. Kohlensäure ist instabil und existiert nur gelöst in Wasser (und da auch nur zu 0,2% vom CO2 Anteil im Wasser). Währenddessen löst sich Calciumhydroxid nur sehr schlecht im Wasser. Das heißt der Kontakt der beiden ist minimal. Es könnte durchaus sein, dass ein Teil davon reagiert, allerdings ist die Reaktion vom Hydroxid mit dem gelösten CO2 sehr viel wahrscheinlicher. Es wird also das meiste des Calciumhydroxid mit dem CO2 reagieren und nicht mit der Kohlensäure. Dieser Prozess wird übrigens auch zur Herstellung von Calciumcarbonat verwendet. Die Reaktion sieht also eher so aus:

Ca(OH)2 + CO2 -> CaCO3 + H2O

Siehe auch hier unter Darstellung: https://de.m.wikipedia.org/wiki/Calciumcarbonat

Ausgleichen, dann dürfte es passen.