Quadratzahlen - Rest bei Teilen durch 4?
Hallo, hat jemand eine kurze Begründung warum bei einer Quadratzahl nach Teilen durch 4 immer entweder der Rest 0 oder der Rest 1 bleibt? Im Internet habe ich da nichts vernünftiges gefunden... :/
Vielen Dank
4 Antworten
Hallo, hat jemand eine kurze Begründung
ja. habe ich.
Wenn die Zahl, die quadriert wurde gerade war, kann man sie schreiben als (m ist eine ganze Zahl):
n = 2*m
n² quadriert ergibt 4m². dividiert durch 4 ist das m² - gerade Zahlen die quadriert wurden, haben also bei Division durch 4 keinen rest.
ungerade Zahlen:
n = 2m + 1
n² 4m² + 4m +1 = 4m(m+1) + 1
Das ist also immer um 1 mehr als eine durch 4 teilbare Zahl.
Hallo,
eine gerade positive Zahl kann man allgemein als 2n ausdrücken mit n Element N, der natürlichen Zahlen einschließlich der Null.
(2n)²=4n², also auf jeden Fall eine durch 4 teilbare Zahl.
Teilst Du eine gerade Quadratzahl durch 4, bleibt ein Rest von 0.
Eine ungerade positive ganze Zahl läßt sich als 2n+1 ausdrücken.
(2n+1)²=4n²+4n+1=4(n²+n)+1.
Wenn Du diesen Term durch 4 teilst, bleibt immer ein Rest von 1, denn es handelt sich immer um die Summe einer durch 4 teilbaren Zahl 4(n²+n) und der 1, die beim Teilen als Rest übrigbleibt.
Da eine natürliche Zahl entweder gerade oder ungerade ist, kann von einer Quadratzahl nach der Division durch 4 nur ein Rest von 0 oder von 1 bleiben.
Herzliche Grüße,
Willy
Gerade Zahlen sind darstellbar als x = 2n. x² ist dann 4n², also Rest 0 beim Teilen durch 4.
Ungerade: x = 2n+1, x² ist also 4n²+4n+1, also Rest 1 beim Teilen durch 4!
- Fall: x² gerade: dann ist x auch gerade: x=2*n, also ist x²=4*n² und somit durch 4 mit Rest Null teilbar.
- x² ungerade. Dann ist x auch ungerade: x=2n+1, also ist x²=(2n+1)²=4n²+4n+1=4*(n²+n)+1 und somit ergibt sich bei der Division durch 4 der Rest 1