Wie erkenne ich leicht Quadratzahlen?
Also zum Beispiel 289. Ich weiß, dass es eine Quadratzahl sein MUSS... Wie kann ich diese Zahl erkennnen? Also die, die hoch 2 genommen wird?
5 Antworten
ich denke das muss man auswendig lernen und/oder kann das so leicht überschlagen. Die nächst größere, die jeder kennt, ist 400, wir suchen also etwas zwischen 10 und 20. Welche der Quadratzahlen von 1 bis 9 hat eine 9 hinten (289). Da fällt mir die 3^2 = 9 und 7^2 = 49 ein. Da kann man schon schätzen, dass die gesuchte Zahl eher 17 als 13 ist.
ohaa danke das rettet mir eine schulaufgaben note 😍❤ Dankeeeee
Du hast eine Zahl y mit y = x^2. Die einfachste Möglichkeit, an x heranzukommen ist tatsächlich, sie zu erraten.
Was du in jedem Fall schonmal weißt ist: wenn y gerade ist, ist auch x gerade. Wenn y ungerade ist, ist auch x ungerade. Damit kannst du schonmal die Hälfte der Möglichkeiten ausschließen. Wenn y = 289 ist, ist also x ungerade.
Du näherst X an indem du eine Zahl errätst, sie quadrierst und dann, wenn es nicht die richtige war, guckst ob das Ergebnis zu groß oder zu klein war. Ich weiß dass 10^2 = 100 und 20^2 = 400, also muss x eine ungerade Zahl zwischen 10 und 20 sein.
Probieren wirs mit der Mitte, mit der 15: 15^2 = 225. Das ist zu klein, aber schon relativ nah dran. Vermutlich also die 17 (16 scheidet aus weil sie gerade ist). 17^2 = 289. Treffer.
Meist ist es eine gute Strategie, von einem Vielfachen der 10 aus anzufangen. Diese kann man im Kopf sehr schnell quadrieren. Bei anderen Zahlen wird es schwieriger, aber es gibt kleine Tricks wie man sich behelfen kann.
Eine Möglichkeit ist, das Distributivgesetz anzuwenden. Auf die Art habe ich im Kopf die 15 quadriert: 15^2 = 15 * 15 = 15 * 10 + 15 * 5 = 150 + 75 = 225. Mit 10 ist schnell multipliziert und mit einer einstelligen Zahl sowieso.
Eine andere Möglichkeit ist die geschickte Anwendung der 3. binomischen Formel. Zur Erinnerung: a^2 - b^2 = (a+b)*(a-b). Wir addieren b^2 auf beiden Seiten und erhalten a^2 = (a+b)*(a-b) + b^2. Was bringt uns das? Wir müssen b einfach so wählen, dass die Rechnungen auf der rechten Seite gut im Kopf zu machen sind.
In der Regel möchtest du b so wählen, dass (a+b) oder (a-b) ein vielfaches von 10 ist. Ich habe 17^2 ausrechen wollen und b=3 gewählt. Dann ergab sich folgendes: 17^2 = (17+3)*(17-3) + 3^2 = 20 * 14 + 9.
14*20 ist ein Kinderspiel ich verdopple die Zahl und hänge eine 0 an. 3^2 ebenfalls. Und so ergibt sich 17^2 = 280 + 9 = 289
Wenn man es schafft, sich diesen Trick anzugewöhnen wird zumindest das quadrieren von zweistelligen Zahlen unerwartet einfach. In schriftlichen Rechnungen kann er leicht zu umständlich sein.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten:
- Du lernst das sogenannte große Einmaleins auswendig
- du lernst wenigstens die Quadratzahlen auswendig, z. B. bis 20 oder 30 oder 100
- Du besinnst dich auf ein kleines bisschen mathematisches Verständnis und überschlägst schnell, welche Zahl als Wurzel in Frage kommen könnte.
Bei der Zahl 289 könnte könnte die 13 oder die 17 in Frage kommen, denn aus dem kleinen Einmaleins weißt du, dass 3x3 und auch 7x7 eine Zahl mit der Endziffer 9 ergeben.
Du erkannst auf einen Blick, dass die 13 zu gering ist (10 x 13 plus 39). Es müsste also die 17 in Frage kommen.
Notwendig: Die letzte Ziffer muss eine 1, 4, 5, 6 oder 9 sein.
Der Rest geht durch Überschlagen. 10*10 ist zuwenig, 20*20 ist zuviel. Um hinten eine 9 zu bekommen, muss also im Zehnerbereich eine Zahl mit sich selbst multipliziert werden, die hinten eine 3 oder 7 stehen hat. Dann prüfst du 17 * 17 = 170 + 70 + 49 = 289 (wahr).
Gibt keine wirkliche Methode wie du das direkt erkennen könntest. Was du natürlich immer machen kannst es die die Zahl im Taschenrechner unter die Quadratwurzel zu packen und zack weißt du obs ne Quadratzahl ist.
Ansonsten hilft nur ausprobieren, was aber im den meisten Fällen relaitv fix geht, da du immer direkt weißt mit welcher Zahl die vermeintliche Quadratzahl endet für den Rest ist etnweder fortgeschrittenes "Zahlengefühl" nötig oder etwas Rechenarbeit.
yx1²=ac1
yx2²=ac4
yx3²=ac9
yx4²=ac6
yx5²=ac5
yx6²=ac6
yx7²=ac9
yx8²=ac4
yx9²=ac8
yx0²=ac0
Das selbe System kann man natürlich für die Zehnerstelle....usw einsetzen, aber ist aber meist umständlicher als es einfach grob zu schätzen und zu probieren.