Wie errechne ich eine Quadratzahl schriftlich (2017-08-01)?
Beispiel:
7^2 = 49; 47^2 = ??
Wie komme ich in diesem Beispiel auf das Hochfache von 47 ohne die schriftliche Multiplikation 47*47? Mir ist daher klar, daß von jeder Zahl mit der Endziffer 7 die Quadratzahl die Endziffer 9 hat. Aber wie soll ich daher drauf kommen, daß 47^2 = 2209 ist?
6 Antworten
Im Vergleich zu den anderen Tipps hier ein wenig umständlich, aber vielleicht ein Denkanreiz:
Zahlen, die auf 5 enden, können sehr einfach im Kopf quadriert werden, indem man die Zehnerstelle mit der um 1 erhöhten Zehnerstelle multipliziert und dann 25 "anhängt".
Beispiele:
45*45=2025 (weil 4 * (4+1) = 20)
105 * 105 = 11025 (weil 10 * (10+1) = 110)
Wie kommt man nun von 45*45 auf 47*47? Wenn man 2*45 zu 45*45 addiert erhält man (45+2) * 45 = 47 * 45. Wenn man nun noch 2 mal 47 addiert, hat man 47 * 47.
Im Übrigen ist n*n = (n-1)*(n-1) + 2n-1.
es gibt zwei Möglichkeiten:
a) 40 * (47 + 7) + 7 * 7
b) 2. binomische Formel: 50² - 2*50*3 + 3"
a) 40 * 54 ist leicht zu rechnen: 2160 plus 49 ergibt also 2209
b) 2500 - 300 + 9 ebenfalls recht simpel
a geht auf die erste binomische Formel zurück, ist aber für das Kopfrechnen vereinfacht und geht auch bei nicht-quadratischen Produkten:
47*46 = 40*53 + 7*6 = 2120 + 42
47² = (40 + 7)² = 40² + 2 * 40 * 7 + 7² = 1600 + 560 + 49 = 2209
1./2. binomische Formel:
(a ± b)² = a² ± 2ab + b²
Bei 47² eine Kombination aus Fünferregel und 1. Binom.
1. Schritt 45² | 20 25
2. Schritt 2025 + 90 * 2 + 2² = 2205 + 4
= 2209
Man muss flexibel sein.
Es passt nicht jede Regel zu allem.
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Fünferregel: Quadratur zweistelliger Zahlen, die auf 5 enden
1. Ziffer * (1. Ziffer + 1) und 25 anhängen
z.B. 25² | 2 * 3 | 6 25 Das sollte man sich merken!
Da gibt es einen netten Kopfrechentrick:
Angenommen, du willst n² berechnen. Stattdessen berechnest du hierfür nun (n+k) * (n-k) + k², wobei k die Differenz zum am nähesten gelegenen vollen Zehner ist.
Hier wäre dies: 47² = 50*44 + 3² = 2200 + 9 = 2209.
Durch die Wahl von k multiplizierst du die eine Zahl (44) immer mit einem vollen Zehner (50), was ziemlich locker im Kopf geht.