Quadratische Funktionen: Unterschied Allgemeine Form - Normalform?

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5 Antworten

Parabeln zweiten Grades haben die gleichen Nullstellen, ob vor x² eine Zahl oder auch nur ein Minus steht - oder nicht. Allerdings muss dann gewährleistet sein, dass auch die anderen Zahlen stimmen. Das bedeutet, wenn vor x² eine Vorzahl steht, muss man die ganze Gleichung durch diese Vorzahl dividieren (oder durch (-1) bei Minus), damit die Nullstellen wirklich die gleichen sind.

Man könnte die Gleichung auch mit jeder beliebigen Konstanten multiplizieren; die Lösungen wären immer identisch.

ax² + bx + c = 0
  x² + px + q = 0      mit    p = b/a   und   q = c/a  

Für beide Darstellungen gibt es Lösungsformeln, die die richtigen Lösungen zur Verfügung stellen. Sie sind aus quadratischen Ergänzungen entstanden.

Achtung! Diese Division durch die Vorzahl a ist nur bei Nullstellen erlaubt. Für alle anderen Punkte muss die Originalfunktion f(x) genommen werden!

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Soweit ich weiss kannst du eine Form zur anderen Form umrechnen, also ist das ja im Prinzip die gleiche Form. Den Unterschied gibt es, da du die eine für ein paar Aufgaben brauchst, und die andere für andere

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Hallo,

von der allgemeinen Form kommst Du auf die Normalform, die für die pq-Formel benötigt wird, indem Du die Gleichung durch den Faktor vor dem x² teilst.

Allgemein: ax²+bx+c=a*(x²+(b/a)x+c/a), wobei b/a durch p und c/a durch q ersetzt wird, so daß a(x²+px+q) entsteht, wobei das a für die Nullstellensuche keine Rolle mehr spielt.

Beispiel:

Allgemeine Form: f(x)=3x²+6x-9

Normalform:

f(x)=3*(x²+2x-3)

Den Ausdruck in der Klammer kannst Du für die pq-Formel verwenden, die die gleichen Nullstellen liefert wie die abc-Formel für die allgemeine Form.

Wenn nämlich 3*(x²+2x-3) gleich Null gesetzt wird, kannst Du beide Seiten der Gleichung durch 3 teilen, so daß die 3 verschwindet, weil rechts der Ausdruck 0/3 entsteht, der Null wird.

Herzliche Grüße,

Willy

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Bei der 2. ist a=1, bei der ersten nicht. Wie man die anderen Variablen nennt ist egal.

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Kommentar von GoldPrincess
24.04.2016, 11:10

Danke :) Also ist b dieselbe Zahl wie p und c die selbe Zahl wie q?

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Die zweite sieht so aus, als könnte sie perfekt in die PQ formel passen. Deswegen auch bestimmt die Variablen p und q.

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