Quadratische Funktionen - Aufgabe?
Mit einem Zaun der Länge 120m kann ein rechteckiges Grundstück eingezäunt werden. Stellen Sie die Fläche A als Funktion der Seitenlänge a grafisch dar. Für welche Länge und Breite wird die Fläche am größten?
Ich komme hier einfach nicht weiter. Bisher hatten wir nur Aufgaben bei denen eine Seite der Fläche von einer Mauer o. ä. begrenzt war. Hier bin ich völlig am verzweifeln. Ich will nicht die komplette Lösung, lediglich einen Lösungsansatz. Als erstes muss ich ja mal die Funktion aufstellen. Man muss ja irgendwie mit der Formel A=2a+2b arbeiten, oder ist mein Ansatz schon verkehrt?
Gruß David
2 Antworten
Stellen Sie die Fläche A als Funktion der Seitenlänge a graphisch dar.
Damit ist die Länge einer Seite gemeint; die andere kannst Du b nennen. Natürlich ist
A=2a+2b
in der Tat falsch, denn A steht ja für die Fläche und ist beim Rechteck einfach a⋅b. Vielmehr ist die (gegebene) Gesamtlänge
(1.1) L = 2a + 2b = 120m,
und das bietet durch Umformung die Möglichkeit, b durch L und a auszudrücken:
(1.2) b = ½(L – 2a)
Die Fläche ist nun durch
(2) A = a⋅½(L – 2a) = ½aL – a² = –a² + ½aL
gegeben, und das ist eine quadratische Funktion von a und lässt als Parabel zeichnen.
Am Minuszeichen vor 'a²' erkennst Du, dass sich die Parabel nach unten öffnet, und das muss natürlich auch so sein, denn die Fläche kann beliebig klein werden (bis 0 bei a=0 oder a=½L), aber es gibt einen Maximalwert.
Wo der liegt, kannst Du der Parabel direkt ansehen (sie ist ja achsensymmetrisch) oder auch mit Hilfe der sogenannten Ableitungsfunktion
(3) A'(a) bzw. dA/da = –2a + ½L
bestimmen, welche die
Steigung
der Funktion A(a) in jedem Punkt a angibt (hier ist das „Overkill“, aber es gibt kompliziertere Probleme).
Schon anschaulich ist klar, dass die Steigung 0 wird, wenn das Maximum erreicht wird.
Bei komplizierteren Problemen könnte noch immer ein Sattelpunkt vorliegen, aber wenn die Ableitungsfunktion das Vorzeichen wechselt, ist das wirklich ein lokales Maximum (von + nach –) oder Minimum (von – nach +), und hier ist es eindeutig ein Maximum. Wo es liegt, hat mein Vorredner schon verraten, es sollte aber auch anschaulich plausibel sein.
Viel wichtiger als die Lage des Maximums und die maximale Fläche in diesem Fall ist mir eigentlich, dass die Methode
a) U = 2a + 2b ... b freistellen:
2b = U - 2a
b = (U - 2a) / 2 = U/2 - a ... in die Formel für die Fläche einsetzen:
A = a * b = a * (U/2 - a) = a*U/2 - a²
b) Flächenformel differenzieren:
f´(A) = U/2 - 2a ... und 0 setzen:
0 = U/2 - 2a ... a freistellen:
2a = U/2
a = U/4
Antwort:
Die Fläche ist maximal, wenn die Seitenlänge des Rechtecks 1/4 des Umfanges ist, weshalb man das dann besser als Quadrat ansprechen sollte.
Da will einer mal selbst noch etwas machen, da rechneste es ihm komplett vor.
Na toll^^
…weshalb man das dann besser als Quadrat ansprechen sollte.
Der Begriff des Rechtecks schließt das Quadrat als Sonderfall ein. Dasselbe gilt übrigens für den Begriff der Raute, auch Rhombus genannt.
Ein Quadrat ist also wegen seiner rechten Innenwinkel ein Rechteck, das wegen der gleichen Länge seiner Seiten auch ein Rhombus ist.
Es ist ein bisschen verwirrend, wenn Du für die Ableitung ' f' (A) ' schreibst, denn A ist eine Funktion von a, also A(a), und daher muss es auch ' A'(a) ' heißen.