Wie kann ich die Punkte eines Graphen mit waagerechter Tangente bestimmen?
Hallo liebe Community :) Ich lerne gerade Stoff aus dem letzten Schuljahr und verzweifle an dieser Aufgabe
a)Bestimmen Sie die Punkte des Graphen von f mit waagerechter Tangente f(x)=1/6x3 - 1/4x2 - 3x +1 (also ein Sechstel mal X hoch 3 minus ein Viertel x hoch 2 minus 3x plus 1)
Kann mir jemand erklären wie ich vorgehen kann?und evtl durchrechnen damit ich es kontrollieren kann?:)
Danke im voraus
Liebe Grüße
Macaron123
4 Antworten
Also, die Punkte des Graphen, an denen eine waagerechte Tangente existiert, sind ja die Extrempunkte, also Hochpunkte und Tiefpunkte. Wenn du für die Aufgabe einen Grafikfähigen Taschenrechner verwenden kannst/darfst, lässt du dir einfach den Graphen zeichnen und bestimmst mittels CALC -> Maximum/Minimum einfach diese Punkte. Wenn du es schriftlich rechnen musst, wird es ein bisschen komplizierter. Nämlich brauchst du dafür die Ableitung des Graphen, die dir also die Steigung des Graphen an jedem einzelnen Punkt verrät. Da Extrempunkte im Normalgraphen logischerweise Nullstellen in der Ableitung sind, musst du eigentlich nur f(x) ableiten und im Funktionsterm der Ableitung für y bzw. für f'(x) Null einsetzen. Schon hast du die Lösung. Ich rechne es dir einmal vor:
f(x)=1/6x^3 - 1/4x^2 - 3x +1
f'(x) [Ableitung]= 1/2x^2 - 1/2x - 3
Einsetzen:
0=1/2x^2 - 1/2x - 3 | +3
3=1/2x^2 - 1/2x
Und hier merke ich gerade, dass man das nicht so einfach ausrechnen kann, da du einmal x^2 und einmal x in einer Formel hast. Da brauchst du unter Umständen die pq-Formel, in die du dann die Ableitung einsetzt. Das kann ich später nochmal als Kommentar hinzufügen (hab jetzt gerade leider keine Zeit mehr), aber vllt. kannst du es ab hier ja auch alleine.
Sowohl für die Nullstellen als auch nachher für die Extremwerte muss man die Funktionen normieren, um bequem zu rechnen (wohlgemerkt, wenn 0 auf der rechten Seite steht, nur dann!). Denn man dividiert ja durch die Zahl, die vor der höchten Potenz steht.
f(x): 1/6 x3 - 1/4 x2 - 3x + 1 = 0 das Dividieren ist hier * 6 !
x³ - 3/2 x² - 18x +6 = 0 besser keine NS bestimmen, sind krumm
f '(x): 1/2 x² - 1/2 x - 3 = 0 | *2
x² - x - 6 = 0
Für die p,q-Formel ist p = -1 und q = -6.
Da kommen schöne ganzzahlige Extremwerte heraus (x-Werte).
Schrei(b) einen Kommentar, wenn du Fragen hast!
Die Tangente ist genau an den Stellen waagerecht, wo die Steigung 0 (Null) ist.
Also Ableiten und die Stellen bestimmen wo die Ableitung Null ist.
Und wenn du die Stellen (x-Werte) hast, setzt du sie in die ursprüngliche (nicht abgeleitete) Funktion ein, um die Y-werte der Punkte zu bekommen.
Schaffst du!
Es nützt dir wenig, wenn dir jemand das ausrechnet, besser ist, du lernst es selber.
Viele haben extreme Schwierigkeiten bei solchen Matheaufgaben ,da es oft im Unterricht gar nicht bis schlecht erklärt wird.
Eine wirklich gute Seite (auch für andere Schulfächer) ist diese zum Selbstlernen + Verstehen:
Viel Erfolg!!!