Produktregel?

Wie passt (x^n)' =n•x^n-1 zur produktregel?

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Man könnte es mit vollständiger Induktion zeigen:

Für n = 1 passen Produktregel und Potenzregel zusammen: $\left(1 \cdot x\right)' = 1$

Wenn man bereits $\left(x^{n-1} \right)' = \left(n -1\right) x^{n-2}$ gezeigt hat, folgt

$\left(x^n\right)' = \left(x^{n - 1} \cdot x \right)' =\left(n - 1\right)x^{n-2} \cdot x + x^{n-1} \cdot 1 = n \cdot x^{n-1}$

Oder wenn man die Produktregel direkt verallgemeinert

$\left(x \cdot \ \dots \ \cdot x\right)' = 1 x x \ \dots \ x + x 1 x \ \dots \ x + \ \dots \ + x x x \ \dots \ 1 = n x^{n-1}$ Auf der linken Seite hat man n Faktoren und bei der Produktregel wird beim k-ten Summanden der k-te Faktor abgeleitet und der Rest bleibt gleich.