Produktform in Scheitelform
Hallo,
ich verstehe nicht wie man die Produktform in die Scheitelform umwandelt. Könnt ihr es mir erklären?
6 Antworten
Ich bringe Melvissimos Trick, der bei Volens zu besichtigen ist, in allgemeiner Schreibweise. Vorteil: Wenn du die einfache Formel für den x-Wert des Scheitels weißt, erspart dir das die (aufwändige) quadratische Ergänzung.
Sei
y = a (x -x1) (x -x2)
die Produktform einer Parabel (dann sind x1, x2 die Nullstellen).
Dann ist der Durchschnitt der Nullstellen der x-Wert des Scheitels:
d = (x1 +x2) / 2;
und die Scheitelform lautet:
y = a (x -d)² +e, wobei e = - a (x1 -x2)² / 4.
(e bekommst du auch durch Einsetzen von x = d in die Produktform; das könnte einfacher sein, als sich die Formel für e zu merken.)
Hallo :-)
Die Produktform und die Scheitelpunktsform zeigen jeweils Unterschiedliches an der Parabel:
- Die Scheitelpunktsform f(x)= a(x-xs)²+ys zeigt dir den Scheitelpunkt mit den Koordinaten S(xs|ys).
- Die Produktform f(x)= a(x-x1)(x-x2) zeigt dir die Nullstellen x1 und x2 an.
Du kannst dir merken, dass die x-Koordinate des Scheitels immer in der Mitte der Beiden Nullstellen ist, also xs= (x1+x2)/2.
Daraus kannst du - wenn du die eben berechnete x-Koordinate des Scheitelpunktes in die Produktform oder zusammen mit einem Punkt in die Scheitelpunktsform einsetzt - die y-Koordinate ermitteln.
Du kannst allerdings auch die Produktform ausmultiplizieren. Du erhältst die allgemeine Form der Parabel. Anschließend formst du über die quadratische Ergänzung die Funktion in die Scheitelpunktsform um.
Beispiel: f(x)= 2(x-2)(x+4)
=> Nullstellen: x1= 2, x2= -4
=> x-Koordinate: xs= (2-4)/2= -2/2 = -1
=> y-Koordinate:
y= 2(-1-2)(-1+4)
= 2(-3)(3)
= 2(-9)
= -18
ODER
0 = 2(2+1)² +ys |Kl.
0 = 18 + ys|-ys
-ys = 18 |:(-1)
ys = -18
=> Scheitelpunkt: S(-1|-18)
Andere Möglichkeit: siehe Volens.
Ich hoffe ich konnte helfen.
lg ShD
Machen wir ein Beispiel.
Produktform: f(x) = 0,5 (x-2)*(x+4)
Die Nullstellen wären (2|0) und (-4|0)
Ausmultipliziert: f(x) = 0,5x² + x - 4
Scheitelpunkt suchen:
f(x) = 0,5 (x² + 2x ...... ) .- 4 ........... | quadratisch ergänzen
f(x) = 0,5 (x² + 2x + 1) - 0,5 - 4
f(x) = 0,5 (x + 1)² - 4,5
Das ist die Scheitelpunktformel
S(-1|-4,5)
Einfach alles ausmultiplizieren. Dann kriegst du die Normalform heraus und wie du die in Scheitelpunktform umwandelst, weißt du vielleicht.
Ein Trick, der das alles umgeht: Die x-Koordinate des Scheitelpunktes muss in der Mitte der beiden Nullstellen sein. Damit kannst du den Scheitelpunkt errechnen und somit die Scheitelpunktform.
Den Trick, von dem Melvissimo spricht, kannst du bei mir besichtigen. Die Nullstellen sind 2 und -4, dazwischen in der Mitte die Stelle x = -1. In die Funktion eingesetzt, ergibt es y = -4,5
Hi,
Ich denke, der folgende Beitrag zur Scheitelform kann dir helfen.
Ich hab es gerade selber herleiten müssen da mein Mathe Buch voll mit Fehlern ist.. Und dann habe ich diesen Eintrag gefunden uns bin entäuscht das dieser kein Stern bekommen hat. Einwandfreie Erklärung sowie sehr gute Beispiele!