Produkt aller Zahlen zwischen a und b?
Rechnung ist quasi a * (a+1) * (a+2) * ... * (b-2) * (b-1) * b
Ich wäre durch meine Überlegung auf die Formel b! - a!-1 gekommen, in der Lösung steht aber b! / a!-1, kann mir jmd erklären warum?
5 Antworten
Es ist zwar keine wissenschaftliche Herangehensweise, aber ich fülle immer gerne erstmal eine Formel mit etwas Leben, um zu sehen, was passiert und ob ich mit diesen Beispielen einen Widerspruch zur Behauptung erzeugen kann. Das geht meistens ziemlich schnell und würde es mir ersparen, einen aufwendigen, formalen Beweis zu führen, dass die Behauptung falsch ist.
Nehmen wir b! - a!
a = 3, b = 5
Das Produkt ist 3 * 4 * 5 = 60
5! = 120
3! = 6
Mit 120 - 6 sind wir von 60 sehr, sehr weit entfernt. Jetzt gilt es zu überlegen, wie man auf 60 kommen könnte. 120 / 6 passt auch nicht. Da sind wir bei 20. Es müsste zum Beispiel 120 / 2 geteilt werden, also würde ich eher versuchen, b! / (a-1)! zu beweisen.
Kannst du uns deine Überlegungen mal erklären?
Sie sind auf alle Fälle falsch, denn wo soll denn da diese Subtraktion herkommen.
Noch eins: Das "zwischen" ist jetzt nicht sauber definiert. Soll a jetzt dazu gehören, oder fängt das oberhalb von a, also bei a+1 an? Und wie ist es mit b? Gehört das dazu?
Die Lösung b!/a! gilt für folgendes Verständnis: (a+1)*(a+2)*....*(b-2) * (b-1) * b
also ohne das a.
Dass dies richtig ist ist ja kinderleicht zu zeigen: einfach hinschreiben und kürzen.
Im Prinzip ist b! = b * (b-1) * ... * 1
Entsprechend ist a! = a * (a-1) * ... * 1
Wenn Du also nur das Produkt der Zahlen behalten willst, die zwischen a und b liegen, muss alles weg, was kleiner oder gleich a ist. Diese Zahlen sind, wie man oben sieht, sowohl in b! als auch in a! drin. Und die gehen nunmal aus einem Produkt dann weg, wenn man dividiert.
Klarer wird das, wenn Du Dir das als Bruch aufschreibst und dabei bedenkst, dass (b-n) ab einem gewissen n = a ist.
Tippfehler: statt "zwischen ab und b" sollte da "zwischen a und b" stehen.
Rechnung ist quasi a * (a+1) * (a+2) * ... * (b-2) * (b-1) * b
Nein. Der Ansatz ist bereits nicht richtig.
Da es mehrere Verständnisfragen zu deinem Problem gibt, solltest du die Aufgabe evtl. nochmal ganz neu (hier) posten.
Am ehesten stimme ich dem Ansatz von @suboptimierer zu. Allerdings wäre es dann ganz korrekt
wenn die Zahlen zwischen a und b liegen sollen. ;)
(a-1)! würde das a wieder einschließen
Hier werden Zahlen miteinander mutlipliziert. Die Umkehrung der Multiplikation ist die Division.
Für eine Reihe (Summe von Folgegliedern) ist die Subtraktion richtig.
Warum sprichst du jetzt doch wieder von "Summe von allen Zahlen"??
...und was bedeutet "zwischen a und b * a * b"??
Natürlich willst Du was umkehren, denn b! liefert eine Multiplikation auch der Zahlen 1,2,3,....a. Und diese Multiplikation machst Du mit 1/a! rückgängig (kehrst sie also um).
Ja, mir ist durchaus bewusst, was eine Summe ist, aber hier kommt ja ein Produkt raus? Die Fakultät von etwas ist ja trotzdem ein Produkt? Außerdem möchte ich ja nichts umkehren, ich möchte wissen wie ich die Summe von allen Zahlen zwischen a und b * a * b heraus bekomme.