Prädikatenlogik: "Alle Daumen sind Finger, aber nicht alle Finger sind Daumen."?
Ich soll diesen Satz eine Prädikatenlogische Formel umwandeln nur weiß ich nicht welches Universum ich dafür wählen sollte. Kann mir jemand helfen?
4 Antworten
Hi,
man könnte es auch so formulieren:
Für zwei Mengen D, F gilt
∀x ∈ D => x ∈ F ∧ ∃x ∈ F x ∉ D
Gruß
P.S.
Am einfachsten würde man ja einfach D ⊂ F schreiben.
( ⊂ "echte Teilmenge", im Gegensatz zu ⊆ )
Aber wenn der Prof Quantoren sehen will, dann soll er sie auch bekommen. ;-)
Einen ABER-Operator gibt es in der formalen Logik gar nicht. Eine beachtliche Lücke in der Theorie, wenn Ihr mich fragt. Ob dem Lehrer, der die Aufgabe stellte, bewußt war, was er verlangt?
Immerhin haben sich einige Leute Gedanken darüber gemacht...
https://math.stackexchange.com/questions/64123/what-is-the-logical-operator-for-but
...und einer von ihnen ist meiner Meinung:
The teacher, almost surely, wants to you translate "but" as logical
conjunction, but I simply don't see why you would want to so mindless
translate into a logical statement, instead of translating it into a
metalogical one.
Auf deutsch in etwa: Du sollst vermutlich "und" verstehen, wo Dein Lehrer "aber" gesagt hat. Aber es erscheint irgendwie gedankenlos, einen logischen Satz bilden zu wollen, wo es angemessen wäre, über die Logik selbst zu reden.
Na gut. Wie capfly schon sagte, gilt:
∀x: istDaumen(x) => istFinger(x)
Stellen wir nun noch fest, daß auch Finger existieren, die keine Daumen sind:
∃ x: (istFinger(x) ∧ ¬ istDaumen(x))
Da beide Aussagen gelten sollen, darfst Du sie durch ein ∧ verknüpfen.
Was aber das "aber" angeht, bleibt hier ungesagt und müßte am besten erstmal in natürlicher Sprache zu klären versucht werden.
Das "aber" hat eh nichts mit Prädikatenlogik zu tun. Mit dem "aber" drücken wir nur in menschlicher Sprache aus, dass ein Sachverhalt so ist, wie er ist, obwohl man es vielleicht anders wahrgenommen hätte. In der Prädikatenlogik sollte es ohne Probleme mit einem "und" gleichgesetzt werden können, wenn ich nicht irre.
durch die Implikation werden auch Finger, die keine Daumen sind abgedeckt. Eine weitere Formel ist doch gar nicht nötig?!^^
A.x: istDaumen(x) => istFinger(x)
"Universum" soll hier wohl (etwas bescheidener und angemessener ausgedrückt !) eine gewisse Grundmenge sein, oder ?
Dann könnte dies doch etwa die Menge F der Finger sein, welche eine echte Teilmenge D (der "Daumen") enthält ... Damit ist dann allerdings auch das Wesentliche schon gesagt.
Ist mir schon klar. Aber wenn man nach der Bedeutung des Ausdrucks "Universum" in der Prädikatenlogik sucht, so findet man, dass ein Universum hier eine beliebige, aber nicht leere Menge sein soll. Es gäbe also insbesondere auch ein Universum, das aus genau einem Objekt besteht ...
Ja, das wird manchmal so genannt. Ich habe den Begriff sogar schon in irgendwelchen Statistikvorlesungen für Gesellschaftswissenschaftler als Bezeichnung für Ω gesehen.
x .......???
F(x) .. x ist ein Finger
D(x) .. x ist ein Daumen
D(x) -> F(x)
Soweit verstehe ich das, aber ich weiß, dass mein Professor eine Art Definition für x fordert und das verstehe ich für das Beispiel noch nicht.