Polynomgleichung - Wo kommt das Plus oder Minus her?
Hallo!
Ich übe gerade ein wenig für Mathe und wollte schon einen Schritt weiter gehen.
Ich habe folgenden Polynom: x³-9x²-16x+60
durch die Wertetabelle oder durch das Einsetzen für x weiß ich bereits, dass im 2. Polynom (x und 2) stehen muss.
Ich kam nicht weiter und habe mir die Lösung angeguckt und habe gesehen, dass die komplette Funktion ( x³-9x²-16x+60 ) : (x - 2) lautet.
Meine Frage ist, woher weiß ich denn im 2. Polynom, ob es x minus 2 oder x plus 2 ist? Meine Vater meint, dass es etwas mit simpler Bruchrechnung und es etwas mit dem Kehrwert zu tun hat, es erschließt sich mir aber leider nicht.
Ich danke! :)
5 Antworten
Die mögliche Nullstelle ist hier die 2. Dann schreibt man ein -2. Ist die mögliche Nullstelle -2, schreibt man +2. Also immer umkehren.
LG
Mach dir auf jeden Fall klar, warum das so ist (Kochrezepte helfen im Zweifel nicht weiter). Der Faktor (x- irgendwas) muss null werden!
Und wieder haben wir eine "Regel" zum sturen Auswendiglernen erklärt ohne im Geringsten zum Verständnis beigetragen zu haben, warum das so ist.
Und dann heißt wieder, die Mathematik sei so schwierig und kompliziert, nur weil keiner versteht, was er da überhaupt macht.
Aber das ergibt sich halt automatisch, wenn die, die erklärt, die Hintergründe selbst nicht versteht!
Hab meinen Kommentar geschrieben, bevor ich deinen gelesen habe,,,
Zeigt, wohin der Matheunterricht inzwischen geführt hat...
Geht es um Punkte oder Verständnis?
Ganz klar: es geht um Punkte, wenn man das Fach in der weiteren Ausbildung nicht braucht. Es geht um Verständnis, wenn man auch im weiteren Leben damit arbeiten muss/möchte. Da es in vielen Fällen erstmal Fall 1 ist, reicht in der Regel die Regel.
Nach meinem Verständnis ist der Sinn von Mathematikunterricht, selbstständig Lösungen für neue Probleme (auch außerhalb der Mathematik) zu finden. Da sind Regeln nur bedingt nützlich.
Bildungsgesetz ganzrationale Funktion 3.ten Grades
y=f(x)=(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*a
x1,x2 und x3 sind die reellen Nullstellen (Schnittstellen mit der x-Achse)
(x-x1) nennt man einen Linearfaktor
Das Ganze wird dann mit dem Faktor a mal genommen
Eine kubische Funktion kann bis zu 3 Nullstellen haben,muß aber nicht und hat immer einen Wendepunkt.
0=x³-9*x²-16*x+60 Nullstellen mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio)
x1=-3 und x2=2und x3=10
ob nun (-2) oder 2,daß ergibt sich,in dem du den Wert einsetzt.Es muß Null heraus-kommen.
1 Nullstelle muß man durch probieren herausfinden.
1) eine Wertetabelle erstellen mit den x-Werten von x1=-5 bis xn=5 (meistens reicht das)
2) die Tabelle auf Vorzeichenwechsel überprüfen.Wenn ein Vorzeichenwechsel statt findet,dann liegt zwischen den beiden x-Werten mindestens 1 Nullstelle.
Bei einer doppelten Nullstelle berührt der Graph nur die x-Achse und man muß darauf achten,ob sich der Graph der x-Achse nähert und dann wieder entfernt.
3) hat man eine Nullstelle,so den Wert durch weiteres probieren verbessern.
4) Ist die Nullstelle keine ganze Zahl,dann die Näherungsformel von Newton (Tangentenverfahren) oder Regula falsi (Sehnenverfahren) so oft anwenden,bis die Genauigkeit ausreicht und dann abbrechen.
dann durch eine Polynomdivision auf die Form f(x)=0=a2*x²+a1*x+ao bringen
dann auf die Form 0=x²+p*x+q bringen und die Nullstellen mit der p-q-Formel ermitteln
X=2 ist eine nullstelle
2-2=0
-2-2 = nicht null
Die Art wie du schreibst, offenbart, dass du nicht wirklich weißt, was du eigentlich tust.
Du hast die Nullstelle x = 2 gefunden, was bedeutet dein Polynom (das Polynom, nicht der) lässt sich darstellen in der Form (.....) * (x-2)
Warum "-2" und nicht "+2"? Wenn du hier für x = 2 (deine Nullstelle) einsetzt, wird die Klammer (x-2) = 0. Und genau darum geht es ja: dass du die Nullstelle ausklammerst. Das *(x-2) sorgt dafür, dass das Produkt bei x=2 Null wird - genau so, wie das ursprüngliche Polynom.
Bei dieser Art der Polnomdivision musst du also durch (x minus Nullstelle) dividieren.
Wäre die Nullstelle bei x = -3 , müsstest du durch (x-(-3)) = (x+3) dividieren.
Ich bin mir nicht mehr ganz sicher, ist auch schon viele Jahre her, aber muss in der 2. Klammer nicht immer ein Minus stehen?
Danke erstmal für deine Antwort! :)
Nein, es gibt auch welche, in der (x + a) steht.
Hmm okay...hätte ja sein können.^^ Aber sabine097 wird wohl recht haben. :)
Die zweite Klammer muss null werden. Ist die Nullstelle z.B. -3 muss es also x+3 sein..
Achsooo! Vielen Dank! :)