Physik-Formel herleiten?
Hallo zusammen, welche Formel außer die der Bahngeschwindigkeit (v) mit dem Gravitationsgesetz (FG) = Radiakraft (FR) kann man mit diesen Gleichungen noch herleiten?
Vielen Dank!
1 Antwort
Ausgehend von der Gleichheit der Gravitationskraft \( F_{\text{grav}} \) und der Zentripetalkraft \( F_R \):
\[ F_{\text{grav}} = F_R \]
Setzt man die jeweiligen Formeln ein:
\[ \frac{\gamma \cdot m \cdot M}{r^2} = \frac{m \cdot v^2}{r} \]
Hier kann man die Masse \( m \) des umlaufenden Körpers kürzen, da sie auf beiden Seiten der Gleichung steht:
\[ \frac{\gamma \cdot M}{r^2} = \frac{v^2}{r} \]
Löst man diese Gleichung nach \( v \) auf, erhält man die Formel für die Bahngeschwindigkeit \( v \), die bereits gegeben ist:
\[ v = \sqrt{\frac{\gamma \cdot M}{r}} \]
Die Umlaufzeit \( T \) eines Objekts im Orbit kann man jetzt durch die Beziehung zwischen dem Umfang \( U \) der Kreisbahn und der Bahngeschwindigkeit \( v \) bestimmen:
\[ T = \frac{U}{v} \]
Da der Umfang \( U \) eines Kreises mit Radius \( r \) durch die Formel \( U = 2\pi r \) gegeben ist, kann man \( U \) ersetzen:
\[ T = \frac{2\pi r}{v} \]
Setzt man nun die Formel für \( v \) ein, ergibt sich:
\[ T = \frac{2\pi r}{\sqrt{\frac{\gamma \cdot M}{r}}} \]
Vereinfacht man dies weiter, erhält man:
\[ T = 2\pi r \cdot \sqrt{\frac{r}{\gamma \cdot M}} \]
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{\gamma \cdot M}} \]
Das ist die Formel für die Umlaufzeit \( T \) in Abhängigkeit vom Radius \( r \) des Orbits und der Masse \( M \) des Zentralkörpers, was das dritte Keplersche Gesetz repräsentiert.