Optischer Dopplereffekt?
Moin Leute, Ich schreibe bald ne LK-Klausur über Optik und mache gerade ein paar Übungsaufgaben. Bei einer komme ich beim besten Willen nicht weiter:
Aufgabe 8 c=100 m
Auf dem Planeten Relativistica bewegt sich das Licht nur mit der sehr kleinen Geschwindigkeit s.
Ein Autofahrer auf Relativistica soll Bußgeld (mit Fahrverbot) zahlen, weil er eine Ampel bei Rot (f =4,40×10¹⁴ Hz) überfahren haben soll.
Er behauptet aber, dass die Ampel Grün (5,65×10¹⁴ Hz) gezeigt hat.
Auf diese Behauptung hin ändert der Polizist den Bußgeldbescheid auf „überhöhte Geschwindigkeit“ (ohne Fahrverbot, aber auch auf Relativistica gilt 50 km/h in geschlossenen Ortschaften).
a) Wie schnell war der Autofahrer unterwegs?
b) Wie schnell wäre er bei gleichem Sachverhalt auf der Erde gefahren?
Ich finde da auch kein Ansatz, weil ich keine Ahnung habe, wie man das Bezugssystem Licht-Auto herstellt.
3 Antworten
Ich verstehe nicht alles, was Du geschrieben hast. Was zum Beispiel bedeutet „Aufgabe 8 c=100 m“? Ist da irgend ein Hinweis drin, wie groß dieses s jetzt sein soll?
Zum zweiten: Wie groß soll s in m/s oder km/h sein? Das geht nicht aus der Fragestellung hervor, doch die Antwort a) hängt davon ab. Da ich es nicht weiß, nehme ich einfach mal s = 300m/s = 1080km/h an, was etwa 10⁻⁶c entspricht.
Außerdem verstehe ich nicht, wieso der Polizist auf eine bloße Behauptung hin ein Bußgeld mit Fahrverbot in eines ohne umwandelt.
Für mich ergäbe das eher Sinn, wenn es umgekehrt wäre, nach dem Motto: „Wenn Sie die Ampel so schnell überfahren, dass sie für Sie Grün zeigt, bekommen Sie erst recht einen drauf“. Aber das nur am Rande, es hat ja nichts mit der Physik zu tun.
Nun zur Physik
Die Ampel wird im Folgenden als B (wie body, Körper) bezeichnet und der Fahrer mit B'. Dementsprechend ist auch die gesendete Frequenz f und die empfangene f'. Außerdem sei x die Position eines Körpers relativ zu B und x' relativ zu B', und v die Geschwindigkeit von B' relativ zu B. Damit ist
(1.1) x(B) = x'(B') = 0
(1.2) x(B') = v·t
(1.3) x'(B) = -v·t'.
Damit haben wir zwei Koordinatensysteme Σ und Σ' definiert, die gleich ausgerichtet sind und sich relativ zueinander bewegen. Bemerke, dass Σ' seine eigene Zeit t' hat, die von der Zeit t von Σ abweichen kann. Wir betrachten nur die t-x- bzw. die t'-x'- Ebene. Geschwindigkeit in Σ lässt sich also als Δx/Δt und z in Σ' als Δx'/Δt' schreiben, wobei Δt auch die Zeitdifferenz und Δx die x-Differenz zweier Ereignisse sein kann, in Σ gemessen. Entsprechendes gilt für Δt' und Δx' in bezug auf Σ'.
Dass der Planet „Relativistica“ heißt, soll wohl bedeuten, dass s dort ¹) eine Grenzgeschwindigkeit ist, die erstens nicht überschritten werden kann und zweitens unabhängig von der Wahl des Bezugssystems ²) ist. Es gilt also
(2) Δx = ±s·Δt ⇔ Δx' = ±s·Δt'.
Für Paare von Ereignissen, in Σ bzw. Σ' betrachtet, sind
(3.1) s·Δt – Δx
(3.2) s·Δt' – Δx'
lineare Funktionen voneinander, da v konstant ist. Dasselbe gilt für die Ausdrücke
(4.1) s·Δt + Δx
(4.2) s·Δt' + Δx'.
Daraus, dass s in beiden Koordinatensystemen gleich ist, folgt, dass (3.2) genau für dieselben Ereignisse Null wird wie (3.1), und (4.2) für dieselben Ereignisse wie (4.1); daher müssen die jeweiligen Ausdrücke auch proportional sein, d.h. es muss eine reelle Zahl K geben, sodass
(5.1) s·Δt' – Δx' = K·(s·Δt – Δx)
ist. Wenn wir B und B' gegeneinander austauschen und zugleich die x-Richtung umkehren, erhalten wir
(5.2) K(s·Δt' + Δx') = s·Δt + Δx
⇔ s·Δt' + Δx' = (1/K)(s·Δt + Δx).
K ergibt sich daraus, dass im Spezialfall Δx'=0 eines in Σ' ruhenden Körpers Δx=vΔt herauskommt und (5.1-2) zu
(6.1) s·Δt' = K·(s – v)·Δt = K·(s + v)·Δt
wird, woraus
(6.2) K² = (s+v)/(s–v)
⇔ K = √{(s+v)/(s–v)} = (s+v)/√{s²–v²}
folgt, und beschreibt die Doppler-Verschiebung für den Fall, dass sich Quelle und Beobachter einander nähern. Wellen in -x - Richtung lassen sich z.B. durch
(7.1) E(x,t) = E₀⋅cos(kx + ωt)
beschreiben, wobei k die Kreiswellenzahl und ω=2πf die Kreisfrequenz ist. Und das ist auf Relativistica eben
(7.2) E(x,t) = E₀⋅cos(ω(x/s + t)) = E₀⋅cos(ωK(x'/s + t')),
sodass ω' = ωK ist.
Wenn wir von K aus auf v schließen wollen, müssen wir (6.2) umkehren, also v durch K ausdrücken. Dadurch ergibt sich
(8) v = s⋅(K–(1/K))/(K+(1/K)),
wobei K natürlich 5,65/4,4 ist, und das ist ungefähr 32/25=1024/800. Der Kehrwert ist 25/32=625/800. So ist v/s etwa 399/1649, etwas weniger als ¼. Bleibt, wie gesagt, die Frage, wie groß s nun wirklich ist. Sollte s tatsächlich knapp 300m/s schnell sein, wären das etwas weniger als 75m/s=270km/h. Auf der Erde bzw. in unserem Universum¹) müsste er dafür 7500km/s fahren.
Durch Multiplikation lässt sich übrigens der von der Wahl des Bezugssystems unabhängige Ereignisabstand herleiten. Addition und Subtraktion von (5.1) und (5.2) und Teilen durch 2 ergeben die Relativistica-Version der Lorentz-Transformationen.
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¹) Relativistica muss außerhalb unseres Universums liegen, wo die Maxwell-Gleichungen die Lichtgeschwindigkeit im materiefreien Raum auch auf den fernsten Planeten auf
c ≈ 3×10⁸m/s = 1,08×10⁹km/h
festlegen.
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²) Dasjenige Koordinatensystem, auf das die Bewegungen bezogen werden. Es gilt selbst natürlich als ruhend.
Nutz die Formel für Rotverschiebung.
Ich verstehe dein Problem nicht?
Die Ampel ist der Bezugspunkt, sie ist ´´Start und Ziel´´ Ziel des Autos und Start des Lichts....
ich war durch den Namen Relativistica so krass verwirrt das mir die Rotverschiebung entgangenen ist. ich dachte die ganze Zeit man soll das mit ner anderen Formel bestimmen