Optimierungsaufgabe Mathe 12. Klasse?
Optimierungsaufgabe:
Unsere Aufgabe ist, dass wir die maximale Länge des Baumstammes herausfinden sollen, sodass der gerade eben noch so um die Kurve treiben kann. Die Maßen kann man der Skizze entnehmen, wie auch die bildliche Vorstellung. Würde mich über Lösungsansätze wie auch eine vollständige Lösung bis morgen Abend freuen.
Vielen Dank im voraus.
Vg
8 Antworten
die länge des Balken berechnet sich mit der Formel: l=1/cos(a)+4/sin(a),wobei a der drehwinkel vom Stamm ist und zwischen 0° und 90° liegt.
bei der Bestimmung des Minimums ergibt sich eine Länge von 6,604m bei 57,79°
diese Fkt. beschreibt für jeden winkel die maximal mögliche Baumlänge, unter der vereinfachung eines Baumstamns als Linie
es wird bei 45° nicht am krittischsten, wie ich oben schon erklärt habe, dass wehre einfach falach und der Stamm würde schon vorher steckenbleiben
Das ist schade, denn das ist (bis jetzt) die einzige richtige Lösung.
Die Aufgabe ist eine klassische Extremwertaufgabe, die ausnahmsweise mal nicht auf Polynomfunktionen führt. Die Herleitung der zu minimierenden (!) Funktion benötigt nur einfachste Trigonometrie (Schulstoff bis zur neunten Klasse).
Eberhard Weiß (der Daniel Jung der Fernsehzeit) hat die Aufgabe (mit anderen Zahlen) einmal im Telekolleg Mathematik vorgerechnet.
Ich gebe ein hilfreich und ein Danke mit voller Absicht!
bei dieser fkt ist das minimum das die maximal mögliche Länge, da die Funktion für jeden Winkel des Baumstamms, die maximal mögliche länge angibt. und da er sich ja dreht, muss er alle winkel durchlaufen
in deiner Skizze musst du dir vorstellen, dass der Baumstamm oben die rechte seite des dünneren flusses berührt und links die ecke zwischen den flüssen und unten noch den anderen flussrand. so ergeben sich zwei Dreiecke die laut stralensatz unten lunks den gleichen winkel haben. oben hast du die Ankatete mit 1 gegeben unten die gegenkatete mit 4, dann stellst du es jeweils zur Hypotenuse um und addierst diese.
Ich habe das gleiche Ergebnis; aber mit Strahlensatz und Pythagoras gearbeitet.
nimm mal ne klopapier rolle halte sie ein paar Zentimeter über deen tisch, mehr als sue breit ist und versuch nen stift um die Kurve zu bekommen, du merkst er bleibt schon vor 45°stecken, wenn er zu lang ist. Daher ist 45°einfach falsch
Hallo,
es ist klar, daß der Baumstamm im Idealfall so geführt wird, daß er sowohl die Außenwände der beiden Kanäle berührt als auch die Kante, die von den Innenwänden gebildet wird.
Sieh Dir die Zeichnung an. Der Balken darf höchstens so lang sein, wie die kürzestmögliche Verbindung zwischen der Geraden, auf der A* und B* liegen, und der Geraden, auf der B* und C liegen, ist unter der Voraussetzung, daß Punkt A immer berührt wird.
Du brauchst also das Minimum der roten Linie, denn da liegt die engste Stelle.
Betrachte die beiden ähnlichen Dreiecke C*A*A und ABC.
Da sie in allen drei Winkeln übereinstimmen, stimmen auch die Verhältnisse entsprechender Strecken überein. Es gilt also y/1=4/x bzw. y=4/x.
Für die Länge der roten Linie gilt nach dem Satz des Pythagoras:
l=Wurzel ((x+1)²+(y+4)²).
Da die Wurzel minimal wird, wenn dies auch der Ausdruck unter der Wurzel ist, kannst Du l(x)=(x+1)²+(y+4)² auf ein Minimum untersuchen.
Ersetze y durch 4/x und bilde anschließend die erste Ableitung, die Du auf Null setzt.
Herzliche Grüße,
Willy
>wie auch eine vollständige Lösung bis morgen Abend freuen.
bis zu dieser Stelle hätte ich mir das jetzt angesehen. So nicht ;-)
Es war nichtmal böse gemeint oä. Außerdem nett formuliert, aber da habe ich wohl trotzdem die falsche Wortwahl benutzt..^^
Es wirkt aber so, dass du jetzt einfach was anderes machst, was dir mehr Spaß macht und du dir morgen Abend die Lösung einfach abholst. Nachdenken brauchst du nicht, da es sicher jemanden geben wird, der darauf antwortet. Du übernimmst das dann einfach und freust dich, dass deine Hausaufgabe von anderen Leuten gemacht wurde. Verstehst du das?
Ich verstehe es, aber ich habe z.B. auch nach Lösungsansätzen gefragt. Da meine Priorität eher beim verstehen liegt. Anhand eines Musterbeispiels hätte ich es sonst eventuell auch verstanden, aber über eine aussagekräftige Erklärung, wo ich selber rechnen muss...freue ich mich fast noch mehr.
ist ne nette Aufgabe, erscheint mir aber für die meisten in der 12. Klasse etwas schwer, dürft ihr sie denn mit nem GTR lösen?
Wie bist du auf die Funktion gekommen? Und müsste ich als Winkel 45° nehmen, da es da am kritischsten wird?...achja und außerdem soll ich das Maximum berechnen und nicht das Minimumm...^^