Optimierungsaufgabe/Extremwertproblem?
Hallo, ich verstehe diese (auf dem Bild) Optimierungsaufgabe bzw. Extremwertproblem Aufgabe nicht so ganz. Könnte mir eventuell einer diese erklären, welcher Mathe versteht?
danke schon mal im voraus!
1 Antwort
Also, wenn ich die Aufgabe richtig verstehe:
U = 100cm = 2a + 2b
A = a * b
Der Umfang wird jetzt umgestellt nach a
100cm = 2a + 2b | -2b
2a = -2b + 100cm | :2
a = -b + 50cm
dieses a setzen wir jetzt in die Gleichung für den Flächeninhalt ein und machen kunstvoll eine Funktion daraus (ab hier erspare ich mir die Einheiten):
A = f(b) = (-b + 50) * 2b
noch ausmultiplizieren:
A(b) = -2b² + 100b
Die Funktion muss nun noch einmal abgeleitet (differenziert) und die NS berechnet werden:
A'(b) = -4b +100
0 = -4b + 100 | +4b
4b = 100 | :4
b = 25cm
Jetzt könnte noch rechn. bestimmt werden, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt. Ich bin jedoch der Meinung, dass sich das aus der Funktion selbst ergibt.
Das b wird nun in die Umfangsgleichung eingesetzt:
U = 100 cm = 2a + 2b
=>
100cm = 2a + 2 * 25cm
100cm = 2a + 50cm | -50cm
50cm = 2a | :2
a = 25cm
Somit ergibt sich ein Quadrat mit der Seitenlänge a = b = 25cm
PS. Soll eine Fläche bei geg. Umfang immer max. werden, kommt i.d.R. ein Quadrat oder ein Kreis am Ende raus.
*Alle Berechnungen ohne Gewähr