Optimierungsaufgaben für KA
Hallo Community, wir schreiben morgen eine Mathe Klassenarbeit, unter anderem über das Thema Optimierungsaufgaben. Leider verstehe ich und Freunde von mir das Thema nicht sehr. Ich bin in der 8. Klasse eines Gymnasiums und benutze das Lambacher Schweitzer 4. Könntet ihr mir helfen an folgendem Beispiel die Optimierungsaufgaben zu erklären ? Ich wäre euch sehr dankbar:)
Dagmar will mit 11m Maschendraht einen rechteckigen Platz für ihren Hund einzäunen. Sie benutzt die Wände von Garage und Haus. Für welche Maße wird der Platz am größten?
Vielen Dank im Vorraus :)
3 Antworten
Wenn du 11 m zur Verfügung hast und von dem rechteckigen Platz brauchen nur zwei Seiten bedient werden (die anderen beiden sind ja Garage und Haus, dann ergibt sich als Rest des Umfangs: a + b = 11 Damit ist a = 11 - b
Damit gehe ich jetzt in die Flächenformel A = a b
Das a von oben eingesetzt, ergibt das A = (11 - b) b A = 11b - b²
Damit habe ich eine Funktionsgleichung. Denn ich kann ja jede Fläche aus der Variablen b errechnen. Das ist dir vermutlich in der x,y-Form vertrauter. Deshalb schreibe ich es so:
y = -x² + 11x
Das ist eine nach unten geöffnete Parabel. Ihr höchster Punkt ist der Scheitelpunkt. Das kann man ausrechnen mit der Scheitelpunktformel.
Wenn du die nicht kannst, schreib mir, dann helfe ich dir weiter.
Wenn du dann x hast (das ist ja b), kannst du a = 11 - x ausrechnen. Dann hast du die maximale Fläche.
Du hast mich direkt nach der Scheitelpunktformel gefragt. Ich denke, dass dich die Antwort hier erreicht:
Wenn du eine Darstellung der Parabel in einem x,y-Koordinatensystem hast, kannst du den Scheitelpunkt ja sehen. Es ist der Punkt, der entweder der höchte oder der tiefste ist. Jeder Punkt hat seine Koordinaten, z.B. S(2; 4). Also der x-Wert ist 2, der y-Wert ist 4. Das Semikolon ist eigentlich ein senkrechter Strich. (Den kriege ich aber gerade nicht hin.)
Es gibt verschiedene Darstellungsformen der Scheitelpunktforel. Ich wähle mal die gebräuchlichste: y = (x-x0)² + y0. Die 0 (null) ist eigentlich ein Index, eine tiefer gesetzte Zahl. Damit sind die Koordinaten des Scheitelpunkts gemeint, also x0 = 2; y0 = 4.
Damit hast du die S-Formel: y = (x-2)² + 4
Das Vorzeichen von x0 ist dabei umgedreht, Wäre S(-6; -2,5), wäre die Scheitelpunktformel: y = (x+6)² - 2,5
Das alles gilt für die verschobene Normalparabel.
Wenn diese schlanker oder breiter werden soll, schreibst du einen Faktor vor die Klammer, mit dem du multiplizieren musst. Das wurde aber in einer anderen Zuschrift schon genauer erklärt. Wenn du dazu aber noch Fragen hast, kannst du sie gern stellen.
Wenn du die S-Form ausrechnest, bekommst du die Form der Parabel, die meist angegeben wird: y = ax² + bx + c
Wie man rückwärts wieder auf die S-Form kommt, ist ein schwierigeres Thema. Dazu braucht man die so genannte quadratische Ergänzung. Aber das war ja in diesem Zusammenhang nicht deine Frage.
Wer heißt den heutzutage noch Dagmar?oO Nuja...zur Aufgabe:
Meine Vorraussage: Du hast nacher n Quadrat.
Als Zielfunktion haben wir die Fläche des Platzes, A = a * b, die soll ja maximal werden. Wir haben die Länge des Zauns zu Verfügung und wissen, wie man den Umfang eines Rechtecks (bei dem in diesem Fall zwei Seiten fehlen) berechnet: U = a + b = 11m. Diese Nebenfunktion stellen wir nach b um: b = 11 - a und setzen sie in die ZIelfunktion ein: A = a * (11 - a) = a² - 11a.
Diese Funktion muss jetzt maximiert werden, also ableiten und Nullstellen suchen (A' = 2a - 11, Nullstelle bei 5.5).
Heißt also, eine Seite muss 5.5m lang sein, die andere ist dann ebenfalls (11 - 5.5 =) 5.5m lang. Wenn wir jetzt noch 5.5 in die ZIelfunktion einsetzen (oder einfach so mit A = a * b ausrechnen) bekommen wir gleich noch den Flächeninhalt, der wäre 30.25m². Und, um nochmal auf meine Vorraussage zu kommen: die Fläche ist quadratisch:D
Hoffe das hilft.
Das hilft, wenn man ableiten kann. Ich weiß jetzt nicht, ob 8. Klasse nur die Gymnasialjahre angeben sollte oder die Klassenstufe. Im letzteren Fall kann man noch nicht ableiten.
-V = 45 cm^3 eine Seite 5 cm Beispielaufgabe !!! 45 = 5 * b *c b = 9 /c O = 2 *5 *9 /c +2 * 5 * c + 2 *9 * c / c O =90 /c +10c +18 ---- Zielfunktion ! O´ =90 / c^2 +10 - 10 c^2 = - 90 geteilt durch - 10 c^2 = 9 Wurzel aus 9 --- c1 =3 / c2 = - 3 O ´´ (3) > 0 Tiefpunkt , Lsg. ok , da minimale Oberfläche gesucht ! 45 =5 * b * c 45 = 5 * b * 3 b = 3 , damit a =5cm / b =3 cm / c = 3 cm Probe : 45 = 5 * 3 * 3
Vielen Dank Wäre nett wenn du die Scheitelpunktformel auch erklären würdest:)