Nullstelle bestimmen?
In der Funktion f(x) = x^6 - x^4
oder f(x) = x^n -1
mit welcher Taktik muss ich hier rangehen? Nach einem Ansatz würde ich schon deutlich besser dran sein :)
Schönen Abend noch!
4 Antworten
Du kannst es zu ein Polynom dritten Grades substituieren mit u := x², welches aber noch nicht reduziert ist, also nutzt du dann noch die Substitution z = v := u + 1 / 3 (die von Gerolamo Cardano gefunden wurde), damit du die Lösungsformeln von Nicolo Tartaglia für reduzierte kubische Polynome nutzen kannst. Das ganze Konstrukt an Lösungsformeln werden die Cardanischen Formeln genannt.
(Wenn du dich für Mathematik-Geschichte interessierst kann ich dir nur die Geschichte hinter Nicolo, Gerolamo und deren Lehrer zu diesen Formeln empfehlen. War eine echt amüsante Dynamik damals.)
Da die Diskriminante Δ = 0 ist sind die Lösungen:
wo für p und q gilt:
Dann kannst du substituieren.
Polynom Grad 2-MethodeSolltest keine Lust auf die ganzen coolen Substitutionsverfahren haben, kannst du einfach die Polynomdivision bis zum Grad 3 nutzen und dann die Lösungsformel nutzen oder du siehst halt dann direkt, dass du eh nur die Form (x-1)x^4(x+1) erhältst.
Die Lösungen sind also:
Numerisch gesehen würde sich auch das Newtonverfahren anbieten, doch das lösen aller Nullstellen damit würde hier ewig dauern.
Du kannst theoretisch auch die Lösungsformeln für höhere Polynome nutzen, doch jeder der was on seinen Leben hält würde die direkt aufgeben, da die ewig lang sind und kein normaler Mensch auswendig kennt. Z.B. die für quintische Polynome:
Ich starte erst mit
bei der zuersten musst du so vorgehen:
und dann wendest du den Satz vom nullprodukt an
1.) x^6 - x^4 = 0
x^4 ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden
2.) x^n - 1 = 0
x^n = 1 => x=1
und bei geraden n gibt's die 2. Lösung: x=-1
Bei ungeraden n immer nur 1
und bei geraden n gibt's 2 Nullstellen: 1 und -1
Wenn du mal für mehrere verschiedene n die Funktionsgraphen zeichnest, dann wirst du ganz anschaulich sehen, warum das so ist.
Erste Funktion: x^4 ausklammern.
Zweite Funktion: Die minus 1 rüberbringen und dann die nte-Wurzel ziehen
aber meinst du das ist so einfach? Eine Aufgabe bei mir besteht quasi nur daraus, dass x eigentlich nur 1 sein kann. Also x^5-1, x^4-1, ...
Naja wäre aber einfacher auf jeden Fall für mich, haha