Frage von lutzii, 72

Monotonieverhalten einer Funktionsschar?

Hallo, ich versuche das Monotonieverhalten der Funktionenschar f(x)=x^3+tx^2+x+1 zu bestimmen, schaffe es aber nicht. 1. Ableitung ist folglich f'(x)=3x^2+2tx+1 Ich kann nicht erkennen wo diese größer oder kleiner Null ist. Auch die Nullstellen kann ich nicht erkennen, außer ich würde die pq-Formel anwenden, aber auch dann weiß ich nicht weiter. Vielleicht kann mir ja jemand einen Tipp geben! Viele Grüße Lutzii

Antwort
von ralphdieter, 28

Nicht der kürzeste Weg, aber recht pragmatisch:

f ' ist eine nach oben geöffnete Parabel (+3x²...). Berechne deren Nullstellen. Dabei wird unter der Wurzel etwas mit t stehen (vermutlich t ²-3 nach Ausklammern).

  • Ist dieser Ausdruck negativ, gibt es keine Nullstellen. Die Parabel (also die Steigung) ist dann immer positiv ⇒ f ist streng monoton steigend.
  • Ist dieser Ausdruck 0, gibt es eine Nullstelle. f hat hier einen Wendepunkt, bleibt aber trotzdem streng monoton steigend.
  • Und ist der Ausdruck positiv, hast Du zwei Nullstellen. Zwischen denen ist f ' negativ (f fällt); davor und danach ist f ' positiv (f steigt).

Vermutlich ist nur gefragt, welche t zum dritten Fall führen. Das explizite Ausrechnen der beiden Nullstellen kannst Du dir dann schenken.

Kommentar von ralphdieter ,

Korrektur: Ersetze Wendepunkt durch Sattelpunkt. (Der Wendepunkt ist ja sowieso da. Nur hat er hier die Steigung 0, was bei der Monotonie-Untersuchung etwas lästig ist.)

Antwort
von PhotonX, 38

Behandle t als eine Zahl. Du erhältst dann einen x-Wert, der von t abhängt, für die Position des Extremums. Du kannst die zweite Ableitung verwenden, um zu prüfen, ob es ein Minimum oder Maximum ist (das Ergebnis kann von t abhängen, du musst also wahrscheinlich Fallunterscheidungen für t einführen!).

Kommentar von lutzii ,

Wie bestimme ich denn die x-Werte? Mit der pq-Formel? Das wird dann ein ganz schön langer Term und wenn ich ihn in die zweite Ableitung einsetze, sehe ich irgendwie auch nicht, ob die größer oder kleiner Null ist... Das Problem ist das x in der Ursprungsgleichung, das in der Ableitung zur 1 wird. Normalerweise habe ich sonst einfach das x ausgeklammert, aber das geht ja dann nicht und ich habe eine quadratische Funktion als Ableitung...

Kommentar von PhotonX ,

Bloß keine Angst haben, der Term wird ein klein wenig länger, aber alles noch im Rahmen des Machbaren. :)

Kommentar von lutzii ,

Okay danke. Ich komme als erstes t auf t < Wurzel 3/4, was laut Lösung wohl nicht stimmt, aber ich belasse es dann für heute wohl einfach damit und berechne die Intervalle nicht mehr, wenn das schon nicht stimmt:)

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