Monoid, Komposition von Abbildungen?
Hallo, ich würde mich sehr frueen wenn mir jemand behilflich beim lösen folgender aufgabe haben würde. es wäre super lieb dabei noch zu erklären wie man das gemacht hat.
Sei A /= ∅ eine Menge. Betrachte die Menge F(A) := {g : A → A} aller Funktionen von A nach A. Zeigen Sie, dass (F(A), ◦) ein Monoid, aber im Allgemeinen keine Gruppe ist, wobei ◦ die aus der Vorlesung bekannte Komposition von Abbildungen sei.
Vielen dank im voraus
1 Antwort
Zumindest sitze ich jetzt vor einem PC und nicht vor einem Tablett, also sollte es hier besser funktionieren. Ausserdem habe ich was zu schreiben neben mir :-).
Also, du mußt zunächst zeigen, dass (F(A), °) ein neutrales Element hat. Das ist einfach, nimm die identische Abbildung, also id(a) = a für alle a aus A. Du mußt nun zeigen, dass f(id(a)) = f(a) und id(f(a)) = f(a), das solltest du hin bekommen.
Als nächstes die Assoziativität, also f°(g°h)(a) = (f°g)°h(a). Hier einfach statt den ° jeweils die Komposition direkt einsetzen, also f°(g°h)(a) = f((g°h)(a)) = ... = bis du rechts auf (f°g)(h(a)) = (f°g)°h(a) kommst.
Um zu beweisen dass (F(A), °) keine Gruppe ist, mußt du eine Abbildung von A nach A finden, die nicht umkehrbar ist. Damit sie nicht umkehrbar ist, darf sie insbesondere nicht injektiv sein. Nun mußt du das "Im Allgemeinen" ausnutzen. Enthält A nämlich nur ein Element, dann ist die Aussage falsch, allerdings ist das dann eine ziemlich triviale Gruppe. Da hier nach einem Gegenbeispiel für die allgemeine Aussage, d.h. für jede Mächtigkeit von A, gefragt ist, darfst du voraussetzen, dass A zwei verschiedene Elemente a und b enthält. Nun wähle für f die Abbildung, die für alle c aus A a ergibt. D.h. insbesondere f(a) = a und f(b) = a. f ist somit nicht injektiv und hat damit kein Inverses.
Zu 2 und 3 haben doch schon genug andere was gesagt? Ich weiß, 2 ist mühselig, aber genau deshalb werde ich es dir nicht vorrechnen. Wenn du bei Google nach Beweisen, dass Q\{0} (also die Menge der Bruchzahlen m/n ohne die 0) bezüglich der Multiplikation eine Gruppe ist solltest du fündig werden.
https://www.mathelounge.de/623776/zeige-dass-die-menge-ein-monoid-ist
muss ich das so ähnlich wie bei dieser aufgabe lösen oder ist bei der was ganz anderes gefragt?
ich habe selber kein plan was ich da geschrieben habe, verstehe das einfach nicht trotz deiner mühsamen ausführlichen erklärung für die ich dir sehr dankbar bin. ich weiß nicht wie ich den faden zu dem ganzen kriegen soll.. mir fehlen einfach die realistischen beispiele zu den lösungen um den ganzen sinn dahinter zu verstehen wie plötzlich z.B. i.wo ein e dazu kommt usw.
Siehe meine PN. Das mit den realistischen Beispielen ist eines der Dinge die dir im Weg stehen. Mathematik ist pure Abstraktion. Das was du als erstes lernen mußt ist die Fähigkeit, dich rein in den Grenzen zu bewegen die das jeweilige Thema und die jeweilige Aufgabe dir gibt. Dich formal korrekt auszudrücken und die formalen Ausdrucksweise zu verstehen. Ich bin mir sicher dass kann man üben (ich hatte die Basis dafür bereits in einem ziemlich theoretisch orientierten LK Mathe gelegt bekommen), aber ich kenen jetzt keinen vernünftigen Ansatz dafür den ich dir mitteilen kann. Sorry!
das kann man definitv üben, daran glaube ich auch. ich hatte auch Mathe LK in der 11. Klasse und nach wechsel wurde auf der neuen Schule kein Mathe LK angeboten, da es eine Hochschule mit Spezialisierung in Sozialwesen war. Bis zur 11. Klasse hatte ich in Mathe immer mindestens eine 1 gehabt und alles sehr sehr gut verstanden
okay ich versuchs mal, wird zwar definitiv falsch sein aber ein versuch ist es ja wert.. wie läuft das ganze dann bei aufgabe 2 un 3 bei der vorherigen Frage ab?