Matrixnormen?
Ich habe die Definitionen von drei verschiedenen matrixnormen, verstehe diese aber noch nicht so ganz.
- p-Matrixnorm: Nimmt man bei der p-Matrixnorm jedes Element der Matrix hoch p und addiert dann diese Werte auf. Den nun erhaltenen Wert nimmt man nun hoch 1/p oder? Aber was genau zeigt mir dieser Wert dann? Er gibt ja nicht wie bei den einzelnen Vektoren die Länge von etwas wieder oder?
- Zeilensummenorm: Hab ich es richtig verstanden, dass man dort jedes Element aus derersten Zeile addiert, dann jedes Element aus der zweiten Zeile, usw. und dann der größte von den Werten das Ergebnis ist?
- Spaltensummennorm: Gleiche wie bei der Zeilensummennorm nur mit Spalten?
2 Antworten
Zeilensummenorm: Hab ich es richtig verstanden, dass man dort jedes Element aus derersten Zeile addiert, dann jedes Element aus der zweiten Zeile, usw. und dann der größte von den Werten das Ergebnis ist?
Nicht ganz, du addierst die Beträge der Elemente der Jeweiligen Zeile, und nimmst dann das Größte Ergebnis. Bei der Spaltensummenorm machst du das selbe nur mit den Spalten.
p-Matrixnorm: Nimmt man bei der p-Matrixnorm jedes Element der Matrix hoch p und addiert dann diese Werte auf. Den nun erhaltenen Wert nimmt man nun hoch 1/p oder?
Korrekt. (Zumindest wenn du die elementweise Matrixnorm meinst, und nicht die Norm, die durch die p Vektornorm induziert wird)
Aber was genau zeigt mir dieser Wert dann? Er gibt ja nicht wie bei den einzelnen Vektoren die Länge von etwas wieder oder?
Es ist halt eine Norm, also eine Abbildung die die Eigenschaften einer Norm erfüllt. Die p Norm ist halt eine Verallgemeinerung der Euklidischen Norm, und es kann hakt anwendungsfälle geben, wo die p Norm für ein p≠2 benötigt wird.
Du meinst doch hoffentlich stets die Beträge der Elemente und nicht etwa die Elemente selbst? Sonst würdest Du nämlich keine Norm erhalten. Warum es unbedingt Matrizen sein sollen, ist zumindest bei 1. unklar, denn man definiert die p-Norm am besten für beliebige n-Tupel-Räume (z.B. über dem reellen Zahlkörper, aber der Verallgemeinerung sind da wenig Grenzen gesetzt).
Im Falle p=1 erhält man die "Komponentenbetragssummennorm", im Falle p=2 die "Euklidische Norm".
Du musst nicht immer verlangen, dass Normwerte eine anschauliche Vorstellung liefern müssen (die man z. B. bei 2-Tupen reeller Zahlen und p=2 leicht mit dem Satz von Pythagoras angeben könnte), sondern am besten daran freuen, dass der Normbegriff so allgemein ist, dass er alle diese Definitionen als Spezialfälle enthält, die in Termen verschiedenster Anwendungen eine Rolle spielen.
Das Gute ist nämlich, dass jedes bewiesene Ergebnis in der allgemeinen Theorie normierter Verktorräume sofort bei solchen Anwendungen benutzt werden kann. Daher macht man nicht für jede einzelne Norm eine neue Theorie, sondern eine allgemeine Theorie für normierte Vektorräume.
In zahlreichen Fällen ist der in Anwendungen jeweils betrachtete normierte Vektorraum sogar vollständig, weswegen die (äußerst ergiebige) Theorie der vollständigen normierten Vektorräume ganz besonders wichtig ist.
Und was sollte das alles, wenn es nicht verschiedenste Normen gäbe, mit denen man dann aufgrund der allgemeinen Theorie jonglieren könnte?
Es ist gut, viele verschiedene Normen kennenzulernen, um das ganze Ausmaß der Allgemeinheit ahnen zu können!