Von Matrix A hoch 3 A hoch 1 bestimmen ?

Hallo

wie oben gefragt. Wie kann man eine Matrix hoch 3 wieder zu Matrix hoch 1 berechnen. Sagen wir mal die Matrix sei (32,31;93,94) und 32,31 sei die erste Zeile 93,94 die zweite Zeile.

Dankeeee

Answer 1

[wrglprmft]

Ist 

A = ( a b )  und A^3 = ( 32  31 )
    ( c d )            ( 93  94 ) 

kann man aus den Eigenwerten und Eigenvektoren auf a,b,c,d schließen:

A^3 hat nämlich die Eigenwerte, Eigenvektoren

 125  zu z.B. w1=(1,3)    und
   1  zu z.B. w2=(-1,1)

also hat A die Eigenwerte, Eigenvektoren 

 l1 = 5 zu z.B. w1=(1,3) und
 l2 = 1 zu z.B. w2=(-1,1)

d.h.:

 A*w1 = l1*w1 und
 A*w2 = l2*w2

Das führt zu den vier Gleichungen:

  a + 3b =  5
  c + 3d = 15
 -a +  b = -1
 -c +  d =  1

Dieses System hat als Lösung:

a=2, b=1, c=3 und d=4 

Answer 2

[rumar]

Es handelt sich also um  2 x 2 - Matrizen  A = (p,q;r,s)  und B = (32,31;93,94)

Gesucht sind nun die Zahlenwerte p,q,r,s , für welche dann die Gleichung  A^3 = B  gilt. Eine simple "Kubikwurzelfunktion" für Matrizen gibt es nicht, aber man kann nun doch einmal ein Gleichungssystem aus 4 Gleichungen für die 4 Unbekannten p,q,r,s aufstellen und versuchen, eine Lösung (oder alle möglichen Lösungen) dafür zu finden.

Comments

[rumar]

Für mich war die Lösung des Gleichungssystems leider zu schwierig, aber Freund Wolfram half weiter:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7Bp,q%7D,%7Br,s%7D%7D%5E3+%3D+%7B%7B32,31%7D,%7B93,94%7D%7D

[techwox]

es war eine Klausuraufgabe ohne Taschenrechner :D

Und leider habe ich auch nicht die Lösung :/ Bis zur Sprechstunde halte ich es auch nicht aus weil ich seit Tagen da dran hänge :/

[rumar]

@techwox

Wie man das Gleichungssystem elementar lösen soll, weiß ich auch nicht. Aber eine Lösung mit ganzen Zahlen ist doch ersichtlich unter dem Wolfram-Link, den ich angegeben habe !

(Dass auch die verschiedenen komplexen Lösungen, welche Wolfram auch liefert, in der Klausur verlangt sein sollten, kann ich mir schlicht nicht vorstellen)