A hoch nte Potenz einer Matrix berechnen - Wann normieren?
hallo,
wenn man die A hoch nte Potenz berechnet muss man ja erst die Eigenvektoren berechnen und diese dann gegeben falls normieren.
Aber wie erkennt man , nach dem man die Eigenvektoren hat ob man diese nun normieren muss oder nicht?
2 Antworten
Also hier zunaechst ein Zahlenbeispiel, an dem Du die genannten Argumente schnell nachrechnen kannst:
M ist die Matrix, deren n-te Potenz Du bestimmen willst. T ist die Matrix mit den Eigenvektoren von M in den Spalten. Dabei ist es egal, ob die Eigenvektoren normiert sind oder nicht. D ist die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von M auf der Diagonalen (in der Reihenfolge entsprechend den Eigenvektoren). Also hier: (1,- 2) ist Eigenvektor von M zum Eigenwert 1 und (-2, 5) ist Eigenvektor von M zum Eigenwert 2 (nachrechnen!).
Wenn man M auf einen Eigenvektor multipliziert, erhaelt man ein Vielfaches des Eigenvektors. Daher gilt M * T = T * D (nachrechnen!). Multiplizierst Du diese Gleichung von rechts mit T^-1 hast Du eine alternative Darstellung von M, naemlich M = T * D * T^-1. Das klappt mit normierten und mit nicht normierten Eigenvektoren.
Willst Du nun z.B. die dritte Potenz von M bestimmen, kannst Du das so machen:
M^3 = T D T^-1 * T D T^-1 * T D T^-1 = T D D D T^-1 = T D^3 T^-1
Die Potenz D^3 laesst sich sehr leicht bestimmen - man muss nur die Diagonalelemente zur entsprechenden Potenz nehmen. Dann mutlipliziert man noch mit T von links und T^-1 von rechts und ist fertig. Das klappt natuerlich nicht nur mit 3, sondern mit einer beliebigen Potenz.
Fuer dieses Verfahren spielt die Norm der Eigenvektoren also an keiner Stelle eine Rolle.
siehe unten: https://www.gutefrage.net/frage/a-hoch-nte-potenz-einer-matrix-berechnen---wann-normieren#answer-270464092
Das eine sind meine Lösungen und die andere ist die die meines Profs.
Wo liegt denn hier mein fehler?
und warum hat der Normiert und auch in klammern geschrieben entweder normieren oder s^-1
Bitte: Also normalerweise antworte ich ja nicht, wenn die Bilder nicht richtig orientiert sind... Ich mache hier mal eine Ausnahme, aber in Zukunft bitte die Bilder in die richtige Position drehen! Ausserdem bitte die Aufgabe selbst auch nennen, damit man sie nicht erst aus der Loesung rekonstruieren muss :)
Beobachtung: Ich verwende fuer Matrizen die Schreibweise A = (9, 2; 2, 6), d.h. das Komma trennt Spalten und das Semikolon trennt die Zeilen.
Betrachten wir mal die Matrix S, die in ihren Spalten Eigenvektoren von A stehen hat. Die Eigenvektoren nenne ich u=(u1, u2) und v=(v1, v2), sodass S = (u1, v1; u2, v2). Was passiert nun, wenn man S^T mit S multipliziert?
S^T * S = (u1, u2; v1, v2) * (u1, v1; u2, v2) = (u.u, u.v; v.u, v.v)
Dabei bezeichne ich mit "." das Skalarprodukt, also z.B. u.v = u1 v1 + u2 v2 etc.
Wenn die Matrix A symmetrisch ist, dann sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal. In Deinem Fall ist A symmetrisch - rechne nach, dass bei Dir wirklich u.v = v.u = 0 gilt. Wenn die Eigenvektoren zusaetzlich normiert sind, dann gelten u.u = v.v = 1 (rechne nach!). Also gilt fuer diese spezielle Wahl der Eigenvektoren:
S^T * S = (1, 0; 0, 1), sodass S^T = S^-1
Fazit: Wenn die gegebene Matrix A symmetrisch ist und man die Trafo-Matrix S aus normierten, orthogonalen Eigenvektoren von A aufbaut, dann gilt S^-1 = S^T. Man kann dann also die benoetigte Inverse (insbesondere in Dimensionen >2) leichter ausrechnen.
zu Deiner Loesung: Dir sind drei Fehler unterlaufen:
- Du hast bei der Berechnung des ersten Eigenvektors einen Fehler gemacht; Du erhaelst (-2, 2), aber es sollte (-1, 2) herauskommen.
- Da Du Deine Eigenvektoren nicht normiert hast, koenntest Du die Inverse nicht durch den "Trick" S^-1 = S^T ausrechnen, sondern muesstest die Matrix wirklich invertieren.
- Schliesslich hast Du beim Zusammenfassen der Potenzen am Ende etwas uebertrieben; z.B. ist -2 * 5^n nicht dasselbe wie -10^n etc. (rechne fuer n=2 nach, dann siehst Du, dass da etwas nicht stimmen kann).
Vielen Danke ist echt nicht selbstverständlich ,dass Du mir so viel Hilfst.(tut mir echt leid für die Bilder)
Habe jetzt dank dir verstanden wie man vorgeht:
1.Eigenwerte
2.Eigenvektoren
3.Gucken ob die Matrix symmetrisch ist, falls ja muss ich die Eigenvektoren Normieren und kann die Formel S D^n S^T verwenden.
Wenn ich keine Symmetrische Matrix habe, dann muss ich die Formel S D^k S^-1 verwenden und muss NICHT normieren.
4.D bestimmen indem ich die Eigenwerte (von klein nach groß(?)) aufschreibe.
5.Alles in die Formel einsetzen und ausrechnen.
Wenn ich aber A^3 haben möchte einfach die Formel mal drei.
Ja, das ist so fast richtig/vollstaendig... Der Fall reeller, symmetrischer Matrizen ist aber in vielerlei Hinsicht einfacher als der Fall allgemeiner Matrizen. Reelle symmetrische Matrizen haben naemlich nur reelle Eigenwerte und sind diagonalisierbar, d.h. obiges Verfahren funktioniert sicher.
zur Reihenfolge: Die Reihenfolge der Eigenwerte in der Diagonalmatrix muss zur Reihenfolge der Eigenvektoren in der Trafo-Matrix passen. Du koenntest in Deinem Beispiel auch die 5 und die 10 in D vertauschen, wenn Du dafuer auch die beiden Eigenvektoren in S vertauschst (rechne nach!).
Achtung & noch ein Rechenbeispiel: Auch bei symmetrischen Matrizen kann es passieren, dass Du mehrere Eigenvektoren zum selben Eigenwert hast. In diesem Fall muesstest Du noch pruefen, ob diese orthogonal zueinander sind. Nur dann klappt das Berechnen der Inversen mit dem "Transponieren-Trick". Hier waere ein Beispiel, wo man genau darauf aufpassen muss: (4, -2, -4; -2, 1, 2; -4, 2, 4)
nicht symmetrische Matrizen: Hier koennen einem nicht diagonalisierbare Matrizen ueber den Weg laufen. Beispielsweise klappt obiges Verfahren nicht fuer (1,1;0,1). In diesem Fall muesste man mit der etwas schwaecheren Jordan'schen Normalform arbeiten (anstatt mit einer Diagonalmatrix). Je nach Matrix kann es auch sein, dass man komplexe Zahlen benoetigt, z.B. bei (0, 1; -1, 0). DIeser Fall ist also deutlich schwieriger zu handhaben...
Wenn Du A^3 haben willst und die allgemeine Formel schon hast, dann kannst Du einfach k=3 einsetzen. Ansonsten koenntest Du ja auch einfach A*A*A rechnen... Fuer kleine k ist die allgemeine Formel nicht so hilfreich, aber wenn Du A^100, ist S * D^100 * S^-1 schon deutlich geschickter :)
Hallo,
ich habe das mit Deinen Matrizzen berechnet und es kommt auch das Richtig raus.
Nur habe ich eine Aufgabe von unserem Prof gestellt bekommen, wo ich immer das falsch raus bekomme.
Könntest Du mir bitte Sagen wo ,da mein Fehler liegt , habe ich etwa irgendeinen Schritt vergessen?