Mathematik: Was sind die Zwischenschritte?
Siehe Bilder. Was sind die Zwischenschritte zwischen beiden Gleichungen? Beide sind Schritte von einem Rechenweg.
3 Antworten
Zunächst kann aus jedem Summanden 1/12 ausgeklammert werden. Das ginge nebenbei auch mit 1/6, was ich besser fände.
Aus (7x²)/12 - (17x)/6 - 5/12 = 0 wird
1/12 * (7x²-34x-5) = 0
Ein Produkt wird dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Die Faktoren hier sind 1/12 und 7x²-34x-5. Nur letzteres kann 0 sein, also setze 7x²-34x-5=0.
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Man findet die Nullstellen x=5 und x=-1/7. Zerlegt man nun das Polynom 7x²-34x-5 in seine Produktform (googlen), erhält man:
a * 1/12 * (x-5) * (x+1/7) = 0
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Dies soll wieder dem Ausgangspolynom entsprechen, also:
a * 1/12 * (x-5) * (x+1/7) = (7x²)/12 - (17x)/6 - 5/12
<=> a * (x²/12 - 17/42 * x - 5/84) = (7x²)/12 - (17x)/6 - 5/12
<=> a/12 * x² - (17a)/42 * x - (5a)/84 = (7x²)/12 - (17x)/6 - 5/12
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Jetzt einfach Koeeffizientenvergleich ansetzen. Es muss gelten:
a/12 = 7/12
-17a/42 = -17/6
-(5a)/84 = -5/12
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Das alles trifft nur für a=7 zu. Die entgültige Produktform ist also:
7 * 1/12 * (x-5) * (x+1/7) = 0
bzw. 1/12 * (x-5) * (x+1/7) * 7 = 0
bzw. 1/12 * (x-5) * (7x+1) = 0
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Auf die Form wäre man auch gekommen, wenn man die Nullstelle x=5 aus dem Polynom 7x²-34x-5 per Polynomdivision geteilt hätte, was wahrscheinlich schneller wäre.
Zunächst wird bei jedem Term 1/12 herausgehoben. (Beim mittleren Term muss dabei erst mit 2 erweitert werden...)
Danach wird der quadratische Ausdruck faktorisiert. (multipliziere die beiden rechten Klammern in 2. aus, dann siehst du es)
den mittleren Bruch auf 12tel erweitern.
die 12tel ausklammern.
die Binomische Formel bilden.
hmm ... "die Binomische Formel bilden"
welche der binomischen Formeln sorgt denn für diese "Bildung":
(x-5)(7x+1) = 7x² - 34 x - 5
?